Calcolo

La capacità di carico di una specie è la massima popolazione di quella specie che l'ambiente può sostenere indefinitamente, date le risorse disponibili. Agisce come limite superiore per le funzioni di crescita della popolazione. Su un grafico, supponendo che la funzione di crescita della popolazione sia rappresentata con la variabile indipendente (solitamente t in caso di crescita della popolazione) sull'asse orizzontale e la variabile dipendente (la popolazione, in questo caso f (x)) sull'asse verticale , la capacità di carico sarà un asintoto orizzontale. Nel normale corso degli event Leggi di più »

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Per prima cosa sostituiamo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Esegui un seconda sostituzione: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Dividi usando le frazioni parziali: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Ora Leggi di più »

Nel libro di testo utilizzo (Stewart Calculus) il punto critico di f = numero critico per f = valore di x (la variabile indipendente) che è 1) nel dominio di f, dove f 'è 0 o non esiste. (Valori di x che soddisfano le condizioni del Teorema di Fermat.) Un punto di flesso per f è un punto sul grafico (ha entrambe le coordinate xey) a cui la concavità cambia. (Altre persone sembrano usare una terminologia diversa. Non so se abbiano mangiato erroneamente o abbiano semplicemente una terminologia diversa ... Ma i libri di testo che ho usato negli Stati Uniti sin dai primi anni '80 hanno tutti usato q Leggi di più »

Direi che una funzione è discontinua in a se è continua vicino a (in un intervallo aperto contenente a), ma non a a. Ma ci sono altre definizioni in uso. La funzione f è continua al numero a se e solo se: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Ciò richiede che: 1 "" f (a) debba esistere. (a è nel dominio di f) 2 "" lim_ (xrarra) f (x) deve esistere 3 I numeri in 1 e 2 devono essere uguali. Nel senso più generale: se f non è continuo in a, allora f è discontinuo in a. Alcuni diranno poi che f è discontinuo in a se f non è continuo in un Altro userà "discon Leggi di più »

Pi / 4 La lunghezza dell'arco di f (x), x in [ab] è data da: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Dato che abbiamo y = 0 possiamo solo prendere la lunghezza della linea retta tra 0to pi / 4 che è pi / 4- 0 = pi / 4 Leggi di più »

È (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 Method f (x) = sin ^ 7 (x) È molto utile riscriverlo come f (x) = (sin (x)) ^ 7 perché questo rende chiaro che ciò che abbiamo è una 7 ^ (th) funzione di potenza. Usa la regola del potere e la regola della catena (questa combinazione è spesso chiamata la regola della potenza generalizzata). Per f (x) = (g (x)) ^ n, la derivata è f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), in altra notazione d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) In entrambi i casi, per la tua domanda f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) Potresti scrivere f' (x) = 7sin ^ 6 (x) Leggi di più »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Sappiamo che int1 / xdx = lnx + C, quindi: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Quindi f ( x) = ln (x + 3) + C. Ci viene data la condizione iniziale f (2) = 1. Facendo le sostituzioni necessarie, abbiamo: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Possiamo ora riscrivere f (x) come f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, e questa è la nostra risposta finale. Se lo si desidera, è possibile utilizzare la seguente proprietà di registro naturale per semplificare: lna-lnb = ln (a / b) Applicando questo a ln (x + 3) -ln5, otteniamo ln ((x + 3) / 5) , così possiamo ulteriorm Leggi di più »

Ln (x / 2) +1> La derivata di lnx = 1 / x quindi l'anti-derivato di 1 / x "è" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c Per trovare c, usare f ( 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 utilizzando • lnx-lny = ln (x / y) "per semplificare" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Leggi di più »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 Integrazione di f (x): x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 attiva la costante di integrazione ( c) da trovare valutando x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Leggi di più »

Ho trovato: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Risolviamo l'integrale indefinito: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c e poi usiamo la nostra condizione per trovare c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c così: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 e finaly: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Leggi di più »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing in 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Poiché f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Leggi di più »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 utilizziamo l'integrazione per parti f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx in questo caso u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Leggi di più »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Usa te ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C Mettere u = sqrt (1 + x ^ 2) indietro dà: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (ab Leggi di più »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Per un dato insieme di coordinate (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Leggi di più »

Questo non può essere risolto senza contesto. Ecco alcuni degli usi in matematica. Un set ha cardinalità infinita se può essere mappato uno-a-uno su un sottoinsieme appropriato di se stesso. Questo non è l'uso dell'infinito nel calcolo. In Calculus, usiamo "infinito" in 3 modi. Notazione intervallata: i simboli oo (rispettivamente -ooo) sono usati per indicare che un intervallo non ha un punto finale destro (rispettivamente sinistro). L'intervallo (2, oo) è uguale all'insieme x Limiti infiniti Se un limite non esiste perché poiché x si avvicina a, i valori di f ( Leggi di più »

La velocità istantanea è la velocità alla quale un oggetto sta viaggiando esattamente nell'istante specificato. Se percorro il nord esattamente a 10 m / s per esattamente dieci secondi, quindi gira a ovest e percorro esattamente 5 m / s per altri dieci secondi esattamente, la mia velocità media è di circa 5,59 m / s in direzione nord-nord-ovest (approssimativamente). Tuttavia, la mia velocità istantanea è la mia velocità in ogni punto: a esattamente cinque secondi nel mio viaggio, la mia velocità istantanea è di 10 m / s nord; a esattamente quindici secondi, è 5m / Leggi di più »

Dividiamo l'intervallo [a, b] in n sottointervalli di uguale lunghezza. [a, b] a {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, dove a = x_0 <x_1 <x_2 < cdots <x_n = b. Possiamo approssimare l'integrale definito int_a ^ bf (x) dx per la regola trapezoidale T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Leggi di più »

La regola di L'hopital è usata principalmente per trovare il limite come x-> a di una funzione della forma f (x) / g (x), quando i limiti di fe g in a sono tali che f (a) / g (a) risultati in una forma indeterminata, come 0/0 o oo / oo. In questi casi, si può prendere il limite delle derivate di quelle funzioni come x-> a. Quindi, si calcola lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), che sarà uguale al limite della funzione iniziale. Come esempio di una funzione in cui ciò può essere utile, considera la funzione sin (x) / x. In questo caso, f (x) = sin (x), g (x) = x. Come x-> 0, sin Leggi di più »

Regola di l'Hopital If {(lim_ {x a a} f (x) = 0 e lim_ {x a a} g (x) = 0), (o), (lim_ {x a a} f (x) = pm infty e lim_ {x a a} g (x) = pm infty):} then lim_ {x a a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x a a} {f '( x)} / {g '(x)}. Esempio 1 (0/0) lim_ {x a 0} {sinx} / x = lim_ {x a 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Esempio 2 (infuso / infty) lim_ {x to infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Spero che questo sia stato utile. Leggi di più »

X = -4 e -8/5 Quindi, un asintoto verticale è una linea che si estende verticalmente all'infinito. Se notiamo, implica che la coordinata y della curva raggiunga molto l'infinito. Sappiamo che infinity = 1/0 Quindi, se confrontato con f (x), implica che il denominatore di f (x) dovrebbe essere zero. Quindi, (5x + 8) (x + 4) = 0 Questa è un'equazione quadratica le cui radici sono -4 e -8/5. Quindi, a x = -4, -8/5 abbiamo asintoti verticali Leggi di più »

Sec (5x) tan (5x) * 5 La derivata di sec (x) è sec (x) tan (x). Tuttavia poiché l'angolo è 5x e non solo x, usiamo la regola della catena. Quindi moltiplichiamo di nuovo per la derivata di 5x che è 5. Questo ci dà la nostra risposta finale come sec (5x) tan (5x) * 5 Spero che abbia aiutato! Leggi di più »

Se si preferisce la notazione Leibniz, la seconda derivata è denotata (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Esempio: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Se ti piace la notazione dei primi, la seconda derivata è denotata con due segni di primo, a differenza del segno con il primo derivatives: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Analogamente, se la funzione è in notazione di funzione: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 Most le persone hanno familiarità con entrambe le notazioni, quindi di solito non importa quale notazione tu scelga, purché le persone possano capire quello che stai scrive Leggi di più »

Una funzione razionale è dove ci sono x sotto la barra della frazione. La parte sotto la barra è denominata denominatore. Questo pone dei limiti al dominio di x, in quanto il denominatore potrebbe non funzionare per essere 0 Esempio semplice: y = 1 / x dominio: x! = 0 Questo definisce anche l'asintoto verticale x = 0, perché puoi rendere x come vicino a 0 come vuoi, ma non raggiungerlo mai. Fa la differenza se ti sposti verso lo 0 dal lato positivo del negativo (vedi grafico). Diciamo lim_ (x-> 0 ^ +) y = oo e lim_ (x-> 0 ^ -) y = -oo Quindi c'è un grafico di discontinuità {1 / x [-16 Leggi di più »

F '(x) = 72x-18 In generale, la regola del prodotto afferma che se f (x) = g (x) h (x) con g (x) eh (x) alcune funzioni di x, allora f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). In questo caso g (x) = 6x-4 eh (x) = 6x + 1, quindi g '(x) = 6 e h' (x) = 6. Quindi f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Possiamo controllare questo elaborando prima il prodotto di geh, quindi differenziandolo. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, quindi f '(x) = 72x-18. Leggi di più »

L'estremo assoluto di una funzione in un intervallo chiuso [a, b] può essere o extrema locale in quell'intervallo, oi punti le cui ascisse sono a o b. Quindi, troviamo gli estremi locali: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0 if -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Quindi la nostra funzione è decresente in [-2, -1) e in (1,2] e sta crescendo in (-1,1), e quindi il punto A (-1-1) è un minimo locale e il punto B (1,1) è un massimo locale Ora troviamo l'ordinata dei punti agli estremi dell'interv Leggi di più »

Punto minimo a (1 / e, -1 / e) il dato f (x) = x * ln x ottiene la prima derivata f '(x) quindi equivale a zero. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e Solving for f (x) at x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e quindi il punto (1 / e , -1 / e) si trova al 4 ° quadrante che è un punto minimo. Leggi di più »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Riscriviamolo come: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Ora dobbiamo derivare da l'esterno verso l'interno usando la regola della catena. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Qui abbiamo ottenuto una derivata di un prodotto 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Semplicemente usando l'algebra di base per ottenere una versione semplificata: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] E otteniamo la soluzione: (ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) A proposit Leggi di più »

La funzione distanza è: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Gestiamo questo. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Poiché l'antiderivata è fondamentalmente un integrale indefinito, questo diventa una somma infinita di dx infinitesimamente piccolo: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx che sembra essere la formula per la lunghezza dell'arco di qualsiasi funzione che puoi integrare maneggevolmente dopo la manipolazione. Leggi di più »

Trovo più semplice pensare a questo guardando prima il derivato. Voglio dire: cosa, dopo essere stato differenziato, si tradurrebbe in una costante? Certo, una variabile di primo grado. Ad esempio, se la tua differenziazione ha come risultato f '(x) = 5, è evidente che l'antiderivata è F (x) = 5x Quindi, l'antiderivata di una costante è volte la variabile in questione (sia x, y, ecc. .) Potremmo metterlo in questo modo, matematicamente: intcdx <=> cx Si noti che c sta mutiplying 1 nell'integrale: intcolor (verde) (1) * cdx <=> cx Ciò significa che la variabile di primo g Leggi di più »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) unità. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength è dato da: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Semplifica: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Da simmetria: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Applica la sostituzione theta = tanphi: L = 3 / 2intec ^ 3phidphi Questo è un integrale noto: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Invertire la sostituzione: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Inserisci i limit Leggi di più »

Circa 27.879 Questo è un metodo di contorno. La macinatura di alcuni dei lavori è stata fatta al computer. Lunghezza arco s = int punto s dt e punto s = sqrt (vec v * vec v) Ora, per vec r = 4 theta hat r vec v = punto r cappello r + r punto theta cappello theta = 4 punto theta cappello r + 4 theta punto theta hat theta = 4 punto theta (cappello r + theta cappello theta) Quindi punto s = 4 punto theta sqrt (1 + theta ^ 2) Lunghezza arco s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi Leggi di più »

Lunghezza arco ~~ -2.42533 (5dp) La lunghezza dell'arco è negativa a causa del limite inferiore 1 che è maggiore del limite superiore di ln2 Abbiamo una funzione vettoriale parametrica, data da: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Per calcolare la lunghezza dell'arco occorrerà la derivata del vettore, che possiamo calcolare usando la regola del prodotto: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Quindi cal Leggi di più »

Sqrt (3) Cerchiamo la lunghezza dell'arco della funzione vettoriale: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> per t in [1,2] Che possiamo prontamente valutare usando: L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt Quindi calcoliamo la derivata, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Otteniamo così la lunghezza dell'arco: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Questo risultato banale non dovrebbe sorprendere visto che l'equazione originale data Leggi di più »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Per calcolare questo volume, abbiamo in qualche modo intenzione di tagliarlo in fette (infinitamente sottili). Immaginiamo la regione, per aiutarci con questo, ho incluso il grafico in cui la regione è la parte sotto la curva. Notiamo che y = x ^ 2-1 attraversa la linea x = 5 dove y = 24 e che attraversa la linea y = 0 dove x = 1 grafico {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Quando si taglia questa regione in fette orizzontali con altezza dy (un'altezza molto piccola). La lunghezza di queste fette dipende molto dalla coordinata y. per calcolare questa lunghezza dobbiamo Leggi di più »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Moltiplichiamo la radice cubica di t tra parentesi, otteniamo y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Questo ci dà y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Sulla differenziazione, otteniamo dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Che dà, dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Leggi di più »

98 Il valore medio di f su [a, b] è 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Per questo problema, vale 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Leggi di più »

Il valore medio è 4948/5 = 989,6 Il valore medio di f su intervallo [a, b] è 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Quindi otteniamo: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Leggi di più »

1 / 2sin (2), circa 0,4546487 Il valore medio c di una funzione f sull'intervallo [a, b] è dato da: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Qui, questo si traduce nella media valore di: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Usiamo la sostituzione u = x / 2. Ciò implica che du = 1 / 2dx. Possiamo quindi riscrivere l'integrale come tale: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Dividere 1 / 4 in 1/2 * 1/2 consente di avere 1 / 2dx nell'integrale in modo da poter facilmente effettuare la sostituzione 1 / 2dx = du. Abbiamo anche bisogno di cambiare i limiti i Leggi di più »

Il valore medio è 16/3 Il valore medio di una funzione f su un intervallo [a, b] è 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Quindi il valore che cerchiamo è 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Leggi di più »

È (4 (sqrt2-1)) / pi Il valore medio di una funzione f su un intervallo [a, b] è 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Quindi il valore che cerchiamo è 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] _0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sec (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Leggi di più »

Il valore medio di f su [a, b} è 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Per questa funzione su questo intervallo, ottengo -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Leggi di più »

Vedi sotto. Il valore medio è 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedantic Note (12sqrtpi) / pi NON ha un denominatore razionale. Leggi di più »

Prendi l'integrale int_1 ^ ooxe ^ -xdx, che è finito, e nota che limita sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Quindi è convergente, quindi anche sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n). L'affermazione formale del test integrale afferma che se fin [0, oo) rightarrowRR è una funzione decrescente monotona che non è negativa. Quindi la somma sum_ (n = 0) ^ oof (n) è convergente se e solo se "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx è finito. (Tau, Terence, Analisi I, seconda edizione, Hindustan book agency, 2009). Questa affermazione può sembrare un po 'tecnica, ma l'idea è la seguent Leggi di più »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 La definizione di una derivata di una funzione f (x) in un punto c può essere scritta: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Nel nostro caso, possiamo vedere che abbiamo (3 + h) ^ 3, quindi possiamo indovinare che la funzione è x ^ 3, e che c = 3. Possiamo verificare questa ipotesi se scriviamo 27 come 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Vediamo che se c = 3, otterremmo: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h E possiamo vedere che la funzione è solo un valore cubato in entrambi i casi, quindi la funzione deve essere f (x) = x ^ 3: l Leggi di più »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Sappiamo: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Ciò significa che possiamo riscrivere il limite in questo modo: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Considerando la definizione di una derivata di una funzione f (x) in un punto c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Un'ipotesi ragionevole è che c = pi / 6, e usandolo, possiamo vedere che gli input della funzione coseno coincidono con gli input di f (x) nella definizione: lim_ (h- > 0) (cos (colore (rosso) (c + h)) - cos (colore (rosso) (c))) / h Ciò significa che se c = pi / 6, allora f (x) = cos (x ). Leggi di più »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Possiamo prima dividere la frazione in due: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Possiamo ora usare la seguente identità: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) dx-x Sappiamo che la derivata di cot (x) è -csc ^ 2 (x), quindi possiamo aggiungere un segno meno sia all'esterno che all'interno dell'integrale (in modo che si annullino) per risolverlo: -int -csc ^ 2 ( x) dx-x = -cot (x) -x + C Leggi di più »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Conosciamo la definizione di sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 Poiché conosciamo la serie Maclaurin per e ^ x, possiamo usarla per costruisci uno per sinh (x). e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Possiamo trovare la serie per e ^ - x sostituendo x con -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Possiamo sottrarre questi due l'uno dall'altro per trovare il numeratore della definizione sinh: colore (bianco) (- e ^ -x.) e ^ x = colore (bianco) (....) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 Leggi di più »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] colore (bianco) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] colore (bianco) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) colore (bianco) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) colore (bianco) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 Leggi di più »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Dovrai usare la regola della catena. Ricorda che la formula per questo è: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) L'idea è che tu prenda prima la derivata della funzione più esterna, e poi lavori semplicemente la tua modo dentro Prima di iniziare, identifichiamo tutte le nostre funzioni in questa espressione. Abbiamo: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) è la funzione più esterna, quindi inizieremo prendendo la derivata di quello. Quindi: dy / dx = colore (blu) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) Nota come lo stiamo ancora conservando Leggi di più »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Iniziamo con una sostituzione u con u = ln (x). Dividiamo poi per la derivata di u da integrare rispetto a u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du Ora dobbiamo risolvere per x in termini di u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du Potresti supporre che questo non abbia un anti-derivativo elementare e avresti ragione. Possiamo comunque usare il modulo per la funzione di errore immaginario, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx Per ottenere il nostro integrale in questo modulo, Leggi di più »

Vedi sotto. Considerando abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n ma sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 e d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 poi sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Leggi di più »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Iniziamo introducendo una sostituzione u con u = 1 + cosh (x). La derivata di u è quindi sinh (x), quindi dividiamo per sinh (x) per integrare rispetto a u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int cancel (sinh (x)) / (cancel (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Questo integrale è l'integrale comune: int 1 / t dt = ln | t | + C Questo rende il nostro integrale: ln | u | + C Possiamo reintegrare per ottenere: ln (1 + cosh (x)) + C, che è la nostra risposta finale. Rimuoviamo il valore assoluto dal logaritmo perché notiamo che cosh è positivo s Leggi di più »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(formula di Faulhaber)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Leggi di più »

Vedi sotto. Sfortunatamente la funzione all'interno dell'integrale non si integrerà in qualcosa che non può essere espresso in termini di funzioni elementari. Dovrai usare metodi numerici per farlo. Posso mostrarti come utilizzare un'espansione di serie per ottenere un valore approssimativo. Inizia con la serie geometrica: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = sum_ (n = 0) ^ oor ^ n per rlt1 Ora integra rispetto a r e usando i limiti 0 e x per ottenere questo: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Integrazione del lato sinistro: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = [- ln (1-r)] Leggi di più »

Regola a catena: f '(g (x)) * g' (x) Nel calcolo differenziale, usiamo la regola di catena quando abbiamo una funzione composita. Dichiara: La derivata sarà uguale alla derivata della funzione esterna rispetto a quella interna, moltiplicata per la derivata della funzione interna. Vediamo cosa assomiglia matematicamente: Regola della catena: f '(g (x)) * g' (x) Diciamo che abbiamo la funzione composita sin (5x). Sappiamo: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Quindi la derivata sarà uguale a cos (5x) * 5 = 5cos (5x ) Dobbiamo solo trovare le nostre due funzioni, trova Leggi di più »

Sappiamo che una funzione può essere approssimata con questa formula f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} frac {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x) dove R_n (x) è il resto. E funziona se f (x) è derivabile n volte in x_0. Supponiamo ora che n = 4, altrimenti è troppo complicato calcolare le derivate. Calcoliamo per ogni k = da 0 a 4 senza considerare il resto. Quando k = 0 la formula diventa: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 E vediamo che e ^ (2/0) è indeterminato, quindi la funzione non può essere approssimato in x_0 = 0 Leggi di più »

Ecco un approccio ... Vediamo ... Un lineare è nella forma f (x) = mx + b dove m è la pendenza, x è la variabile e b è l'intercetta y. (Lo sapevi!) Possiamo trovare la concavità di una funzione trovando la sua doppia derivata (f '' (x)) e dove è uguale a zero. Facciamolo allora! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Quindi questo ci dice che le funzioni lineari devono curvare in ogni punto dato. Sapendo che il grafico delle funzioni lineari è una linea retta, questo non ha senso, vero? P Leggi di più »

Quindi devo anche usare la regola della catena su (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) sottotitoli nella regola del prodotto. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Leggi di più »

. Penso che non sia standardizzato. Come studente in un'università negli Stati Uniti nel 1975 usiamo Calculus di Earl Swokowski (prima edizione). La sua definizione è: Un punto P (c, f (c)) sul grafico di una funzione f è un punto di inflessione se esiste un intervallo aperto (a, b) contenente c tale che le seguenti relazioni valgano: (i) color (white) (') "" f' '(x)> 0 se a <x <c e f' '(x) <0 se c <x <b; o (ii) "" f '' (x) <0 se a <x <c e f '' (x)> 0 se c <x <b. (pg 146) In un libro di testo che uso per insegnare Leggi di più »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Leggi di più »

Questa è la funzione esponenziale di base b (dove b> 0 dovrebbe essere assunto). Può essere pensato come b ^ x = e ^ (xln (b)), in modo che, usando la regola della catena (vedi regola della catena) e il fatto che (e ^ x) '= e ^ x (vedi Esponenziali con base e) rese (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) volte ln (b) = b ^ x volte ln (b) (vedi Funzioni esponenziali). Leggi di più »

La derivata di 10x rispetto a x è 10. Sia y = 10x Differenziate y rispetto a x. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinc / / dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 La derivata di 10x rispetto a x è 10. Leggi di più »

C'è una regola per differenziare queste funzioni (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Si noti che per il nostro problema a = 10 eu = x quindi colleghiamo ciò che sappiamo. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) se u = x then, (du) / (dx) = 1 a causa della potenza regola: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) quindi, torna al nostro problema, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1) che semplifica a (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Funzionerebbe allo stesso modo se tu fossi qualcosa di più complicato di x. Un sacco di calcoli riguarda la capacità di mettere Leggi di più »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Usando le seguenti regole standard di differenziazione: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Otteniamo il seguente risultato: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * * LN2 cospix * (pi) Leggi di più »

(d (2pir)) / (dr) colore (bianco) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) secondo la regola costante per colore Derivati (bianco) ("XXX") = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ La Constant Rule for Derivatives ci dice che If f ( x) = c * g (x) per qualche costante c poi f '(x) = c * g' (x) In questo caso f (r) = 2pir; c = 2pi e g (r) = r Leggi di più »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Dato, -4 / x ^ 2 Riscrivi l'espressione usando la notazione (dy) / (dx). d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Analizza la frazione. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Usando la moltiplicazione per una regola costante, (c * f) '= c * f', tira fuori il -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Riscrivi 1 / x ^ 2 usando esponenti. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Usando la regola di potere, d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), l'espressione diventa, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Semplifica. = Colore (verde) (| bar (ul (colore (bianco) (a / a), colore (nero) (8x ^ -3) colore (bianco) (a / a) |))) Leggi di più »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Trovo più facile pensare in termini di forma esponenziale e usare la regola del potere: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) come segue: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Leggi di più »

-5 ora la regola di potenza per la differenziazione è: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) usando la regola power = -5x ^ 0 = -5 se usiamo la definizione (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f (x)) / h abbiamo (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 come prima Leggi di più »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx funzione valore assoluto come y = | x-2 | può essere scritto così: y = sqrt ((x-2) ^ 2) applica differenziazione: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) regola rarrpower semplifica, y '= (x-2) / | x-2 | dove x! = 2 quindi in generale d / dxu = u / | u | * (du) / dx lo metto in doppio controllo solo per essere sicuro. Leggi di più »

Presumo che tu ti stia riferendo all'iperbole equilatera, in quanto è l'unica iperbole che può essere espressa come funzione reale di una variabile reale. La funzione è definita da f (x) = 1 / x. Per definizione, per tutto x in (-infty, 0) cup (0, + infty) la derivata è: f '(x) = lim_ {h a 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h a 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h a 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h a 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h a 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Questo può anche essere ottenuto dalla seguente regola di derivazione per tutti alfa ne 1: (x ^ Leggi di più »

5 Non esattamente sicuro della tua notazione qui. Sto interpretando questo come: f (x) = 5x Derivato: d / dx 5x = 5 Questo si ottiene usando la regola di potere: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Dall'esempio: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Leggi di più »

Un commento laterale per iniziare: la notazione cos ^ -1 per la funzione del coseno inverso (più esplicitamente, la funzione inversa della restrizione del coseno a [0, pi]) è diffusa ma fuorviante. In effetti, la convenzione standard per esponenti quando si usano le funzioni trigonometriche (ad es. Cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2 suggerisce che cos ^ (- 1) x sia (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x). Naturalmente, non lo è, ma la notazione è molto fuorviante.La notazione alternativa (e comunemente usata) arccos x è molto meglio Ora per la derivata.Questo è un composito, quindi useremo la regola della catena. Leggi di più »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Utilizzo della regola del quoziente, che è y = f (x) / g (x), quindi y '= (f' (x) g (x) -f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Applicando questo per il problema dato, che è f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, dove -1 Leggi di più »

Per differenziazione implicita, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Vediamo alcuni dettagli. Sostituendo f (x) con y, y = cot ^ {- 1} x riscrivendo in termini di cotangente, Rightarrow coty = x implicitamente differenziando rispetto a x, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 dividendo per -csc ^ 2y, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} per l'identità trigonometrica csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Quindi, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Leggi di più »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Processo: 1.) y = "arccsc" (x) Innanzitutto riscriveremo l'equazione in una forma con cui è più facile lavorare. Prendi la cosecante di entrambi i lati: 2.) csc y = x Riscrivi in termini di seno: 3.) 1 / siny = x Risolvi per y: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Ora, prendere la derivata dovrebbe essere più facile. Ora è solo una questione di regola della catena. Sappiamo che d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) (c'è una prova di questa identità situata qui) Quindi, prendi la derivata della funzione ester Leggi di più »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Spiegazione: f (x) = e ^ (4x) log (1-x) Conversione da base 10 a ef (x) = e ^ (4x) ln (1-x) / ln10 Utilizzo della regola del prodotto, che è y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Analogamente seguendo per il problema dato, f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1- x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Leggi di più »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) è solo una costante e può essere ignorata. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Leggi di più »

In f (x) = ln (cos (x)), abbiamo una funzione di una funzione (non è una moltiplicazione, solo sayin '), quindi dobbiamo usare la regola della catena per le derivate: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Per questo problema, con f (x) = ln (x) eg (x) = cos (x), abbiamo f '(x) = 1 / x e g '(x) = - sin (x), quindi inseriamo g (x) nella formula per f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x). Questo vale la pena di ricordare per dopo quando si imparano informazioni sugli integrali! Digli che Dansmath ha r Leggi di più »

Innanzitutto, riscriveremo la funzione in termini di logaritmi naturali, utilizzando la regola del cambiamento di base: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Differenziamento richiederà l'uso della regola della catena: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Sappiamo che dalla derivata di ln x rispetto a x è 1 / x, quindi la derivata di ln (e ^ x + 3) rispetto a e ^ x + 3 sarà 1 / (e ^ x + 3). Sappiamo anche che la derivata di e ^ x + 3 rispetto a x sarà semplicemente e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * (e ^ x ) Semplificazione dei rendimenti: d / dx Leggi di più »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) soluzione Let's y = ln (f (x)) Differenziando rispetto a x usando Chain Rule, otteniamo, y' = 1 / f (x) * f '(x) Analogamente per il dato problema produce, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Leggi di più »

Un commento laterale per iniziare: la notazione sin ^ -1 per la funzione sinusoidale inversa (più esplicitamente, la funzione inversa della restrizione di seno a [-pi / 2, pi / 2]) è diffusa ma fuorviante. In effetti, la convenzione standard per esponenti quando si usano le funzioni trigonometriche (es. Sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2 suggerisce che sin ^ (- 1) x è (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x). Naturalmente, non lo è, ma la notazione è molto fuorviante.La notazione (e comunemente usata) notazione arcsin x è molto meglio.Ora per la derivata.Questo è un composito, quindi useremo la regola della c Leggi di più »

F '(x) = 2 (cosec2x) Soluzione f (x) = ln (tan (x)) iniziamo con un esempio generale, supponiamo di avere y = f (g (x)) quindi, usando la regola della catena, y' = f '(g (x)) * g' (x) Analogamente seguendo il problema dato, f '(x) = 1 / tanx * sec ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) per semplificare ulteriormente, moltiplichiamo e dividiamo per 2, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Leggi di più »

Metodo 1: Iniziamo usando la regola del cambiamento di base per riscrivere f (x) in modo equivalente come: f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 Sappiamo che d / dx [ln x] = 1 / x . (se questa identità sembra non familiare, controlla alcuni dei video in questa pagina per ulteriori spiegazioni) Quindi, applicheremo la regola della catena: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] La derivata di ln x / 6 sarà 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Semplificando ci dà: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Metodo 2: la prima cosa da notare è che solo d / dx ln (x) = 1 / x dove ln = log_e. Leggi di più »

Suppongo che per log intendessi un logaritmo con base 10. Non dovrebbe essere comunque un problema poiché la logica si applica anche ad altre basi. Per prima cosa applicheremo la regola del cambiamento di base: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Possiamo considerare 1 / ln10 come una costante, quindi prendi la derivata del numeratore e applica la regola della catena: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Semplifica un po ': dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Esiste la nostra derivata. Tieni presente che prendere derivati dei logaritmi senza base e è solo questione di utilizzare la r Leggi di più »

La derivata è f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Questo è un esempio della regola del quoziente: regola dei quozienti. La regola del quoziente indica che la derivata di una funzione f (x) = (u (x)) / (v (x)) è: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Per dirla in modo più conciso: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, dove uev sono funzioni (in particolare, il numeratore e il denominatore della funzione originale f (x)). Per questo specifico esempio, avremmo permesso u = logx e v = x. Pertanto u '= 1 / xev v = 1. Sostituendo questi risultati nella regola del quoziente, trovia Leggi di più »

Per regola dei valori, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Questo problema può essere risolto anche dalla regola del prodotto y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) La funzione originale può anche essere riscritta usando esponenti negativi. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Leggi di più »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Processo: in primo luogo, renderemo l'equazione un po 'più facile da gestire. Prendi la secante di entrambi i lati: y = sec ^ -1 x sec y = x Successivamente, riscrivi in termini di cos: 1 / cos y = x e risolvi per y: 1 = xcosy 1 / x = cozy y = arccos (1 / x) Ora sembra molto più facile distinguere. Sappiamo che d / dx [arccos (alpha)] = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) così possiamo usare questa identità così come la regola della catena: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Un po 'di semplificazione: dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 Leggi di più »

La maggior parte delle persone ricorda che f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} come una delle formule derivative; tuttavia, puoi derivarlo per differenziazione implicita. Facciamo derivare la derivata. Sia y = sin ^ {- 1} x. Riscrivendo in termini di seno, siny = x Per differenziazione implicita rispetto a x, accogliente cdot {dy} / {dx} = 1 dividendo per accogliente, {dy} / {dx} = 1 / accogliente Per accogliente = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Di siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Leggi di più »

La derivata per questo esempio riguarda la regola della catena e la regola di potenza. Converti la radice quadrata in un esponente. Quindi applica la regola di potere e la regola di catena. Quindi semplificare e rimuovere gli esponenti negativi. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Leggi di più »

Mi sembra di ricordare il mio professore che dimentica come ricavarlo. Questo è quello che gli ho mostrato: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) Poiché tany = x / 1 e sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sec ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => colore (blu) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Penso che originariamente intendesse farlo: (dy) / (dx) = 1 / (sec ^ 2y) sec ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sec ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Leggi di più »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Abbiamo bisogno della regola della somma (u + v + w)' = u '+ v' + w 'e che (x ^ n)' = nx ^ (n-1) così otteniamo f '(x) = 3x ^ 2-6x Leggi di più »

Quando si differenzia un esponenziale con una base diversa da e, utilizzare la regola del cambiamento di base per convertirla in logaritmi naturali: f (x) = x * lnx / ln5 Ora, differenziare e applicare la regola del prodotto: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Sappiamo che la derivata di ln x è 1 / x. Se consideriamo 1 / ln5 come una costante, allora possiamo ridurre l'equazione sopra a: d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Semplificando i rendimenti: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Leggi di più »

La funzione f (x) = x * ln (x) è della forma f (x) = g (x) * h (x) che lo rende adatto per l'applicazione della regola del prodotto. La regola del prodotto dice che per trovare la derivata di una funzione che è un prodotto di due o più funzioni usa la seguente formula: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) In Nel nostro caso, possiamo usare i seguenti valori per ogni funzione: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Quando sostituiamo ognuno di questi in la regola del prodotto, otteniamo la risposta finale: f '(x) = 1 * ln (x) + x * 1 / x = ln (x) + 1 Ulteriori informazio Leggi di più »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Richiediamo l'uso di due regole: la regola del prodotto e la regola della catena. La regola del prodotto afferma che: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. La regola della catena afferma che: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, dove u è una funzione di xey è una funzione di u. Pertanto, (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Per trovare la derivata di sqrt (1-x ^ 2) , usa la regola della catena, con u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqrtu) * u' = - (2x) / (2 (sqrt (1-x ^ 2)) = -x / (sqrt (1-x ^ 2)). Sostitu Leggi di più »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Per trovare la derivata di g (x), devi differenziare ogni termine nella somma g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) È più facile vedere la Power Rule al secondo termine riscrivendola come g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Infine, puoi riscrivere questo nuovo secondo termine come una frazione: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Leggi di più »

Puoi trattare i come una costante come C. Quindi la derivata di i sarebbe 0. Tuttavia, quando si tratta di numeri complessi, dobbiamo stare attenti a quello che possiamo dire su funzioni, derivati e integrali. Prendi una funzione f (z), dove z è un numero complesso (cioè f ha un dominio complesso). Quindi la derivata di f è definita in modo simile al caso reale: f ^ prime (z) = lim_ (h a 0) (f (z + h) -f (z)) / (h) dove h è ora un numero complesso Vedendo come numeri complessi possono essere pensati come giacenti in un piano, chiamato piano complesso, abbiamo che il risultato di questo limite dipende d Leggi di più »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Si usa la regola della catena: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). Nel tuo caso: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) eg (x) = 2x. Poiché f '(x) = 1 / xeg' (x) = 2, abbiamo: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / X. Leggi di più »

Considerando la funzione (lineare): y = mx + b dove m e b sono numeri reali, la derivata, y ', di questa funzione (rispetto a x) è: y' = m Questa funzione, y = mx + b, rappresenta graficamente una linea retta e il numero m rappresenta il PENDENZA della linea (o se si desidera l'inclinazione della linea). Come puoi vedere derivando la funzione lineare y = mx + b ti dà m, la pendenza della linea che è un risultato abbastanza retrattile, ampiamente usata in Calculus! Ad esempio puoi considerare la funzione: y = 4x + 5 puoi ricavare ogni fattore: la derivata di 4x è 4 derivata di 5 è 0 e qu Leggi di più »

La derivata di pi * r ^ 2 (assumendo che questo sia rispetto a r) è colore (bianco) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = colore (rosso) (2pir) In generale il potere regola per differenziare una funzione della forma generale f (x) = c * x ^ a dove c è una costante è (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) In questo caso colore (bianco) ("XXX") la costante (c) è pi colore (bianco) ("XXX") l'esponente (a) è 2 colori (bianco) ("XXX") e usiamo r come nostra variabile, invece di x Colore (bianco) ("XXX") (d (pir ^ 2)) / (dr) = 2 * pi * r ^ (2-1) colore (bianco) ( Leggi di più »

Pi / 3 Useremo la regola: d / dx (cx) = cd / dx (x) = c In altre parole, la derivata di 5x è 5, la derivata di -99x è -99 e la derivata di 5 / 7 volte è 5/7. La funzione data (pix) / 3 è la stessa: è la costante pi / 3 moltiplicata per la variabile x. Quindi, d / dx ((pix) / 3) = pi / 3d / dx (x) = pi / 3. Leggi di più »