Qual è la derivata di f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Processi:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Per prima cosa riscriveremo l'equazione in una forma con cui è più facile lavorare.

Prendi la cosecante di entrambe le parti:

2.) #csc y = x #

Riscrivi in termini di seno:

3.) # 1 / siny = x #

Risolvere per # Y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Ora, prendere la derivata dovrebbe essere più facile. Ora è solo una questione di regola della catena.

Lo sappiamo # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (c'è una prova di questa identità si trova qui)

Quindi, prendi la derivata della funzione esterna, quindi moltiplicala per la derivata di # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Il derivato di # 1 / x # è uguale alla derivata di #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Semplificando 8. ci dà:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Per rendere la dichiarazione un po 'più carina, possiamo portare il quadrato di # X ^ 2 # all'interno del radicale, anche se questo non è necessario:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Semplificando i rendimenti:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

E c'è la nostra risposta. Ricorda, i problemi derivati che coinvolgono le funzioni trigonometriche inverse sono per lo più un esercizio nella tua conoscenza delle identità trigonometriche. Usali per suddividere la funzione in una forma facilmente distinguibile.