Qual è la derivata di f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Qual è la derivata di f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?
Anonim

Metodo 1:

Inizieremo utilizzando la regola del cambiamento di base per riscrivere f (x) f(x) equivalentemente come:

f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 f(x)=(lnxln6)2

Lo sappiamo d / dx ln x = 1 / x ddxlnx=1x.

(se questa identità sembra non familiare, controlla alcuni dei video in questa pagina per ulteriori spiegazioni)

Quindi, applicheremo la regola della catena:

f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6

Il derivato di ln x / 6 sarà 1 / (xln6) :

f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6)

La semplificazione ci dà:

f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2)

Metodo 2:

La prima cosa da notare è quella solo d / dx ln (x) = 1 / x dove ln = log_e . In altre parole, solo se la base è E .

Dobbiamo quindi convertire il Log_6 a un'espressione che ha solo log_e = ln . Questo lo facciamo usando il fatto

log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a quando N = e

Adesso molla z = (ln x / ln 6) così che f (x) = z ^ 2

Perciò, f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6)

= (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x

= (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2)