Qual è la derivata di f (x) = (log_6 (x)) ^ 2?

Metodo 1:

Inizieremo utilizzando la regola del cambiamento di base per riscrivere #f (x) # equivalentemente come:

#f (x) = (lnx / ln6) ^ 2 #

Lo sappiamo # d / dx ln x = 1 / x #.

(se questa identità sembra non familiare, controlla alcuni dei video in questa pagina per ulteriori spiegazioni)

Quindi, applicheremo la regola della catena:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx ln x / ln 6 #

Il derivato di #ln x / 6 # sarà # 1 / (xln6) #:

#f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) #

La semplificazione ci dà:

#f '(x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) #

Metodo 2:

La prima cosa da notare è quella solo # d / dx ln (x) = 1 / x # dove #ln = log_e #. In altre parole, solo se la base è # E #.

Dobbiamo quindi convertire il # # Log_6 a un'espressione che ha solo #log_e = ln #. Questo lo facciamo usando il fatto

#log_a b = (log_ {n} b) / (log_ {n} a) = (ln b) / ln a # quando # N = e #

Adesso molla #z = (ln x / ln 6) # così che #f (x) = z ^ 2 #

Perciò, #f '(x) = d / dx z ^ 2 = (d / dz z ^ 2) (dz / dx) = 2z d / dx (ln x / ln 6) #

# = (2z) / (ln 6) d / dx ln x = (2z) / (ln 6) 1 / x #

# = (2 / ln 6) (ln x / ln 6) (1 / x) = (2 ln x) / (x * (ln 6) ^ 2) #