Come trovi la formula di MacLaurin per f (x) = sinhx e usarla per approssimare f (1/2) entro 0,01?

Risposta:

#sinh (1/2) ~~ 0.52 #

Spiegazione:

Conosciamo la definizione per #sinh (x) #:

#sinh (x) = (e ^ x-e ^ -x) / 2 #

Dal momento che conosciamo la serie Maclaurin per # E ^ x #, possiamo usarlo per costruirne uno per #sinh (x) #.

# E ^ x = sum_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) … #

Possiamo trovare la serie per # E ^ -x # sostituendo #X# con #-X#:

# E ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = Sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n!) X ^ n = 1 -x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) … #

Possiamo sottrarre questi due l'uno dall'altro per trovare il numeratore del # # Sinh definizione:

#color (bianco) (-. e ^ -x) e ^ x = colore (bianco) (….) 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (! 3) + x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

#color (bianco) (e ^ x) -e ^ -x = -1 + xx ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) - x ^ 4 / (4!) + x ^ 5 / (5!) … #

# E ^ xe ^ -x = colore (bianco) (lllllllll) 2xcolor (bianco) (lllllllll) + (2x ^ 3) / (3!) Di colore (bianco) (lllllll) + (2x ^ 5) / (5!) … #

Possiamo vedere che tutti i termini pari si annullano e tutti i termini dispari raddoppiano. Possiamo rappresentare questo modello in questo modo:

# e ^ x-e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo 2 / ((2n + 1)!) x ^ (2n + 1) #

Per completare il #sinh (x) # serie, abbiamo solo bisogno di dividerlo #2#:

# (e ^ x-e ^ -x) / 2 = sinh (x) = sum_ (n = 0) ^ oo cancel2 / (cancel2 (2n + 1)!) x ^ (2n + 1) = #

# = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = x + x ^ 3 / (3!) + x ^ 5 / (5!) … #

Ora vogliamo calcolare #f (1 / 2) # con una precisione di almeno #0.01#. Conosciamo questa forma generale dell'errore di Lagrange legato per un ennesimo grado taylor polinomiale # x = C #:

# | R_n (x) | <= | M / (! (N + 1)) (x-c) ^ (n + 1) | # dove # M # è un limite superiore dell'ennesimo derivato nell'intervallo da # C # a #X#.

Nel nostro caso, l'espansione è una serie Maclaurin, quindi # c = 0 # e # x = 1 / 2 #:

# | R_n (x) | <= | M / ((n + 1)!) (1/2) ^ (n + 1) | #

I derivati di ordine superiore di #sinh (x) # o sarà #sinh (x) # o #cosh (x) #. Se consideriamo le definizioni per loro, lo vediamo #cosh (x) # sarà sempre più grande di #sinh (x) #, quindi dovremmo risolvere il # M #-obbligato a #cosh (x) #

La funzione iperbolica del coseno aumenta sempre, quindi il valore più grande dell'intervallo sarà a #1 / 2#:

#sinh (1/2) = (e ^ (1/2) + e ^ (- 1/2)) / 2 = (sqrte + 1 / sqrte) / 2 = sqrte / 2 + 1 / (2sqrte) = M #

Ora lo colleghiamo al limite di errore di Lagrange:

# | R_n (x) | <= (sqrte / 2 + 1 / (2sqrte)) / (! (N + 1)) (1/2) ^ (n + 1) #

Vogliamo # | R_n (x) | # essere più piccolo di #0.01#, quindi proviamo un po ' # N # valori fino ad arrivare a quel punto (la quantità minore di termini nel polinomio, meglio è). Lo troviamo # N = 3 # è il primo valore che ci darà un limite di errore inferiore a #0.01#, quindi dobbiamo usare un polinomio taylor di 3 ° grado.

#sinh (1/2) ~~ sum_ (n = 0) ^ 3 (1/2) ^ (2n + 1) / ((2n + 1)!) = 336169/645120 ~~ 0.52 #