Come integrare int x ^ lnx?

Risposta:

#int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #

Spiegazione:

Iniziamo con una sostituzione u con # U = ln (x) #. Quindi dividiamo per la derivata di # U # integrare rispetto a # U #:

# (Du) / dx = 1 / x #

#int x ^ ln (x) dx = int x * x ^ u du #

Ora dobbiamo risolvere per #X# in termini di # U #:

# U = ln (x) #

# X = e ^ u #

#int x * x ^ u du = int e ^ u * (e ^ u) ^ u du = int e ^ (u ^ 2 + u) du #

Potresti immaginare che questo non abbia un anti-derivativo elementare, e avresti ragione. Possiamo tuttavia utilizzare il modulo per la funzione di errore immaginario, #erfi (x) #:

#erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) dx #

Per ottenere il nostro integrale in questo modulo, potremmo avere solo una variabile al quadrato nell'esponente di # E #, quindi dobbiamo completare il quadrato:

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2 + k #

# U ^ 2 + u = u ^ 2 + u + 1/4 + k #

# K = 1/4 di #

# U ^ 2 + u = (u + 1/2) ^ 2-1 / 4 #

#int e ^ (u ^ 2 + u) du = int e ^ ((u + 1/2) ^ 2-1 / 4) du = e ^ (- 1/4) int e ^ ((u + 1/2) ^ 2) du #

Ora possiamo introdurre una sostituzione u con # T = u + 1/2 #. Il derivato è giusto #1#, quindi non abbiamo bisogno di fare qualcosa di speciale da integrare rispetto a # T #:

#e ^ (- 1/4) int e ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) * sqrtpi / 2int 2 / sqrtpie ^ (t ^ 2) dt = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2 * erfi (t) + C #

Ora possiamo annullare tutte le sostituzioni per ottenere:

#e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (u + 1/2) + C = e ^ (- 1/4) SQRTPI / 2erfi (ln (x) +1/2) + C #