Qual è l'integrale di int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

Risposta:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Spiegazione:

Per prima cosa sostituiamo:

# U = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 #

# (Du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / (2e ^ (2x)) #

#intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du #

Esegui una seconda sostituzione:

# V ^ 2 = u; v = sqrt (u) #

# 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv #

# 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2-1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv #

Dividi usando le frazioni parziali:

# 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v-1) #

# 1 = A (v-1) + B (v + 1) #

# V = 1 #:

# 1 = 2B #, # B = 1/2 #

# V = -1 #:

# 1 = a-2A #, # A = -1 / 2 #

Ora abbiamo:

# -1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 (v-1)) #

# int1 + 1 / ((v + 1) (v-1)) dv = int1-1 / (2 (v + 1)) + 1 / (2 () v-1) dv = 1/2 -ln (abs (v + 1)) + ln (abs (v-1)) + v + C #

Sostituire nuovamente # V = sqrt (u) #:

# 1/2 -ln (abs (sqrt (u) +1)) + ln (abs (sqrt (u) -1)) + sqrt (u) + C #

Sostituire nuovamente # U = 1 + e ^ (2x) #

# 1/2 -ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1)) + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C #

Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione u = sqrt (2x-1). La derivata è quindi (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è uguale a moltiplicare per il solo denominatore) per integrare rispetto a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere x ^ 2 in termini d

Qual è l'integrale di int (3x + 1) / (2x ^ 2 -6x +5)) dx?

Vedi la risposta qui sotto:

Qual è l'integrale di int sin (x) ^ 3 * cos (x) dx?

= (sin ^ 4 (x)) / (4) + C int_ sin ^ 3 (x) * cos (x) dx Possiamo usare la sostituzione per rimuovere cos (x). Quindi, usiamo sin (x) come fonte. u = sin (x) che significa che otterremo, (du) / (dx) = cos (x) Trovare dx darà, dx = 1 / cos (x) * du Ora sostituendo l'integrale originale con la sostituzione, int_ u ^ 3 * cos (x) * 1 / cos (x) du Possiamo cancellare cos (x) qui, int_ u ^ 3 du = 1 / (3 + 1) u ^ (3 + 1) + C = 1/4 u ^ 4 + C Impostazione ora per u, = sin (x) ^ 4/4 + C = sin ^ 4 (x) / 4 + C