Cos'è l'infinito? + Esempio

Risposta:

Questo non può essere risolto senza contesto. Ecco alcuni degli usi in matematica.

Spiegazione:

Un set ha cardinalità infinita se può essere mappato uno-a-uno su un sottoinsieme appropriato di se stesso. Questo non è l'uso dell'infinito nel calcolo.

In Calculus, usiamo "infinito" in 3 modi.

Notazione intervallo:

I simboli # Oo # (rispettivamente # # -Oo) sono utilizzati per indicare che un intervallo non ha un punto finale destro (rispettivamente sinistro).

L'intervallo # (2, oo) # è uguale al set #X#

Limiti infiniti

Se un limite non esiste perché as #X# approcci #un#, i valori di #f (x) # aumentare senza limite, quindi scriviamo #lim_ (xrarra) f (x) = oo #

Nota che: la frase "senza limiti" è significativa. I nubers:

#1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64… # stanno aumentando, ma limitati sopra. (Non arrivano mai o passano #1#.)

Limiti all'infinito

La frase "il limite all'infinito" è usata per indicare che abbiamo chiesto cosa succede #f (x) # come #X# aumenta senza vincoli.

Esempi inclusi

Il limite come #X# aumenta senza limite di # X ^ 2 # non esiste perché, come #X# aumenta senza vincoli, # X ^ 2 # aumenta anche senza vincoli.

Questo è scritto #lim_ (xrarr00) x ^ 2 = oo # e spesso lo leggiamo

"Il limite come #X# va all'infinito, di # X ^ 2 # è infinito"

Il limite #lim_ (xrarroo) 1 / x = 0 # indica che, come #X# aumenta senza vincoli, # 1 / x # approcci #0#.

Risposta:

Dipende dal contesto…

Spiegazione:

#bb + - # Infinito e limiti

Considera l'insieme di numeri reali # RR #, spesso raffigurato come una linea con numeri negativi a sinistra e numeri positivi a destra. Possiamo aggiungere due punti chiamati # + Oo # e # # -Oo che non funzionano come numeri, ma hanno la seguente proprietà:

#AA x in RR, -oo <x <+ oo #

Quindi possiamo scrivere #lim_ (x -> + oo) # intendere il limite come #X# diventa sempre più positivo senza limite superiore e #lim_ (x -> - oo) # intendere il limite come #X# diventa sempre più negativo senza limite inferiore.

Possiamo anche scrivere espressioni come:

#lim_ (x-> 0+) 1 / x = + oo #

#lim_ (x-> 0-) 1 / x = -oo #

… il che significa che il valore di # 1 / x # aumenta o diminuisce senza vincolato come #X# approcci #0# da 'destra' o 'sinistra'.

Quindi in questi contesti # + - oo # sono davvero una scorciatoia per esprimere condizioni o risultati di processi limitanti.

Infinito come completamento di # RR # o # CC #

La linea proiettiva # # RR_oo e la sfera di Riemann # # CC_oo sono formati aggiungendo un singolo punto chiamato # Oo # a # RR # o # CC # - il "punto all'infinito".

Possiamo quindi estendere la definizione di funzioni come #f (z) = (az + b) / (cz + d) # essere continuo e ben definito su tutto # # RR_oo o # # CC_oo. Queste trasformazioni di Möbius funzionano particolarmente bene # # C_oo, dove mappano i cerchi ai cerchi.

Infinito in Set Theory

La dimensione (cardinalità) dell'insieme di numeri interi è infinita, nota come infinito numerabile. Georg Cantor ha scoperto che il numero di numeri reali è strettamente maggiore di questo infinito numerabile. Nella teoria degli insiemi ci sono un'intera pletora di infiniti di dimensioni crescenti.

Infinito come numero

Possiamo trattare effettivamente gli infiniti come numeri? Sì, ma le cose non funzionano come ti aspetti tutto il tempo. Ad esempio, potremmo dire felicemente # 1 / oo = 0 # e # 1/0 = oo #, ma qual è il valore di # 0 * oo? #

Esistono sistemi numerici che includono infiniti e infinitesimi (numeri infinitamente piccoli). Questi forniscono un'immagine intuitiva dei risultati dei processi limite come la differenziazione e possono essere trattati con rigore, ma ci sono alcune trappole da evitare.