Qual è la lunghezza dell'arco di r (t) = (te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t) su tin [1, ln2]?

Risposta:

Lunghezza dell'arco #~~ 2.42533 # (5dp)

La lunghezza dell'arco è negativa a causa del limite inferiore #1# essendo superiore al limite superiore di # # Ln2

Spiegazione:

Abbiamo una funzione vettoriale parametrica, data da:

# bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> #

Per calcolare la lunghezza dell'arco occorrerà la derivata del vettore, che possiamo calcolare usando la regola del prodotto:

# bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> #

# = << 2 t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> #

Quindi calcoliamo la grandezza del vettore derivativo:

# | bb ul r '(t) | = sqrt ((2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2)) ^ 2 + (t ^ 2e ^ t + 2te ^ t) ^ 2 + (-1 / t ^ 2) ^ 2)) #

# "" = sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) #

Quindi possiamo calcolare la lunghezza dell'arco usando:

# L = int_ (1) ^ (ln2) | bb ul r '(t) | dt #

# = int_ (1) ^ (ln2) sqrt (e ^ (2 t) t ^ 4 + 1 / t ^ 4 + 4 e ^ (2 t) t ^ 3 + 4 e ^ (2 t) t ^ 2 + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 2 + e ^ (2 t ^ 2) + 4 e ^ (2 t ^ 2) t ^ 4) dt #

È improbabile che possiamo calcolare questo integrale usando la tecnica analitica, quindi usando Metodi Numerici otteniamo un'approssimazione:

# L ~~ -2.42533 # (5dp)

La lunghezza dell'arco è negativa a causa del limite inferiore #1# essendo superiore al limite superiore di # # Ln2