Come si calcola questo? int_0 ^ 1 log (1-x) / xdx + Esempio

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Sfortunatamente la funzione all'interno dell'integrale non si integrerà in qualcosa che non può essere espresso in termini di funzioni elementari. Dovrai usare metodi numerici per farlo.

Posso mostrarti come utilizzare un'espansione di serie per ottenere un valore approssimativo.

Inizia con la serie geometrica:

# 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 … = sum_ (n = 0) ^ pavimento ^ n # per # # Rlt1

Ora integri rispetto a # R # e usando i limiti #0# e #X# per ottenere questo:

# int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr #

Integrando il lato sinistro:

# Int_0 ^ x1 / (1-r) dr = - ln (1-r) _ ^ 0 x = -ln (1-x) #

Ora integra il lato destro integrando termine per termine:

# int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + … dr = r + r ^ 2/2 + r ^ 3/3 + r ^ 4/4 … _ 0 ^ x #

# = X + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

Quindi segue che:

# -ln (1-x) = x + x ^ 2/2 + x ^ 3/3 + x ^ 4/4 + … #

#impliesln (1-x) = -x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + … #

Ora dividi per #X#:

#ln (1-x) / x = (- x-x ^ 2/2-x ^ 3/3-x ^ 4/4 + …) / x #

# = - 1-x / 2-x ^ 2/3-x ^ 3/4 -… #

Quindi ora abbiamo un'espressione della serie energetica per la funzione originariamente iniziata. Infine, possiamo integrare di nuovo per ottenere:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x = int_0 ^ 1-1-x / 2-x ^ 2/3 x ^ 3/4 -… dx #

Integrare il termine della mano destra in termini di termini ci dà:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x = - x-x ^ 2/4-x ^ 3/9-x ^ 4/16 -… _ ^ 0 1 #

Valutare i limiti a quattro termini ci darà un valore approssimativo:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / x ~~ {-1-1 ^ 2 / 4-1 ^ 3 / 9-1 ^ 4/16} - {0} #

#=-(1+1/4+1/6+1/16+…)=-205/144~~-1.42361#

Ora, questo è solo a quattro termini. Se desideri un numero più preciso, usa semplicemente più termini nella serie. Ad esempio, andando al 100 ° trimestre:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) /x

Per inciso, se lavori con lo stesso identico processo ma usi la notazione sommatoria (cioè con sigma grande piuttosto che scrivere i termini della serie) troverai che:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 #

che è solo la funzione Riemann-Zeta di 2, cioè:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -sum_ (n = 0) ^ oo1 / n ^ 2 = -zeta (2) #

In realtà sappiamo già il valore di questo essere: #zeta (2) = pi ^ 2/6 #.

Quindi il valore esatto dell'integrale può essere dedotto per essere:

# Int_0 ^ 1ln (1-x) / xdx = -pi ^ 2/6 °