Qual è l'arclength di r = 3 / 4theta su theta in [-pi, pi]?

Risposta:

# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4LN (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) # unità.

Spiegazione:

# R = 3 / 4theta #

# R ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 #

# R '= 3/4 #

# (R ') ^ 2 = 9/16 #

Arclength è dato da:

# L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta #

Semplificare:

# L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

Dalla simmetria:

# L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta #

Applicare la sostituzione # Theta = tanphi #:

# L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi #

Questo è un integrale noto:

# L = 3/4 secphitanphi + ln | secphi + tanphi | #

Invertire la sostituzione:

# L = 3/4 thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) | _0 ^ pi #

Inserisci i limiti di integrazione:

# L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4LN (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) #

Qual è l'arclength di r = 4theta su theta in [-pi / 4, pi]?

Circa 27.879 Questo è un metodo di contorno. La macinatura di alcuni dei lavori è stata fatta al computer. Lunghezza arco s = int punto s dt e punto s = sqrt (vec v * vec v) Ora, per vec r = 4 theta hat r vec v = punto r cappello r + r punto theta cappello theta = 4 punto theta cappello r + 4 theta punto theta hat theta = 4 punto theta (cappello r + theta cappello theta) Quindi punto s = 4 punto theta sqrt (1 + theta ^ 2) Lunghezza arco s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi

Mostra che, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Vedi sotto. Sia 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), qui r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) e tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) o alpha = theta / 2 quindi 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) e possiamo scrivere (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n usando il teorema di DE MOivre come r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ nc

Se sin theta + cos theta = p, qual è il peccato ^ 2 theta + cos ^ 4theta in termini di p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 quindi sinthetacostheta = (p ^ 2-1) / 2 ora sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta e mettendo tutti insieme sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2