Come si trova il volume della regione racchiuso tra le curve y = x ^ 2 - 1 ey = 0 ruotato attorno alla linea x = 5?

Risposta:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2DY = pi (85 + 1/3) #

Spiegazione:

Per calcolare questo volume, in un certo senso, lo stiamo tagliando in fette (infinitamente sottili).

Immaginiamo la regione, per aiutarci con questo, ho incluso il grafico in cui la regione è la parte sotto la curva. Notiamo che # Y = x ^ 2-1 # attraversa la linea # X = 5 # dove # Y = 24 # e che attraversa la linea # Y = 0 # dove # X = 1 # graph {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Quando si taglia questa regione in fette orizzontali con altezza # Dy # (un'altezza molto piccola). La lunghezza di queste fette dipende molto dalla coordinata y. per calcolare questa lunghezza dobbiamo conoscere la distanza da un punto # (Y, x) # sulla linea # Y = x ^ 2-1 # al punto (5, y). Certo che lo è # 5-x #, ma vogliamo sapere come dipende # Y #. Da # Y = x ^ 2-1 #, sappiamo # X ^ 2 = y + 1 #, dal momento che abbiamo #x> 0 # per la regione in cui siamo interessati, # X = sqrt (y + 1) #, quindi questa distanza dipende da # Y #, che dovremmo indicare come #r (y) # è dato da #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Ora ruotiamo questa regione # X = 5 #, questo significa che ogni fetta diventa un cilindro con altezza # Dy # e raggio #r (y) #, quindi un volume #pir (y) ^ 2DY #. Tutto ciò che dobbiamo fare ora è sommare questi volumi infinitamente piccoli usando l'integrazione. Notiamo che # Y # va da #0# a #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ 24 (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2/2 _0 ^ 24 = pi (26 * 24-20 / 3 (25) ^ (3/2) + 20 / + 24 3 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.