Qual è l'estremo assoluto della funzione: 2x / (x ^ 2 +1) nell'intervallo chiuso [-2,2]?

L'estremo assoluto di una funzione in un intervallo chiuso # A, b # può essere o extrema locale in quell'intervallo, o i punti di cui sono le ascissae #a o b #.

Quindi, troviamo gli estremi locali:

# y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

#y '> = 0 #

Se

# -X ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1 #.

Quindi la nostra funzione sta diminuendo #-2,-1)# e in #(1,2# e sta crescendo #(-1,1)#e quindi il punto #A (-1-1) # è un minimo locale e il punto #B (1,1) # è un massimo locale.

Ora troviamo l'ordinata dei punti agli estremi dell'intervallo:

#y (-2) = - 4 / 5rArrC (-2, -4 / 5) #

#y (2) = 4 / 5rArrD (2,4 / 5) #.

Così la candidati siamo:

#A (-1-1) #

#B (1,1) #

#C (-2, -4/5) #

#D (2,4 / 5) #

ed è facile capire che sono gli estremi assoluti #UN# e # B #, come potete vedere:

graph {2x / (x ^ 2 +1) -2, 2, -5, 5}