Come calcolare la somma di questo? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Considerando #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

ma # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # e

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # poi

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Risposta:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # quando # | X | <1 #

Spiegazione:

Iniziamo scrivendo alcuni dei coefficienti:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … = #

La prima cosa che vogliamo osservare sono i coefficienti (il grado di #X# può essere facilmente adattato moltiplicando e dividendo la serie per #X#, quindi non sono così importanti). Vediamo che sono tutti multipli di due, quindi possiamo tirarne fuori un fattore due:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ ^ 4-10x 5 …) #

I coefficienti all'interno di questa parentesi possono essere riconosciuti come la serie binomiale con una potenza di # Alpha = -3 #:

# (1 + x) ^ alpha = 1 + Alphax + (alfa (alfa-1)) / (2!) X ^ 2 + (alfa (alfa-1) (alpha-2)) / (3!) X ^ 3 … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Notiamo che gli esponenti di tutti i termini tra parentesi sono più grandi di due rispetto alla serie che abbiamo appena derivato, quindi dobbiamo moltiplicare # X ^ 2 # per ottenere la serie giusta:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ ^ 4-20x 5 … #

Ciò significa che la nostra serie è (quando converge) uguale a:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Solo per verificare che non abbiamo commesso un errore, possiamo usare rapidamente la serie binomiale per calcolare una serie per # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + ((- 3) (- 4)) / (2) x ^ 2 + ((- 3) (- 4) (- 5)) / (3!) x ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2- (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Possiamo descrivere questo modello in questo modo:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n #

Dal momento che il primo mandato è giusto #0#, possiamo scrivere:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

che è la serie che abbiamo iniziato, verificando il nostro risultato.

Ora abbiamo solo bisogno di scoprire l'intervallo di convergenza, per vedere quando la serie ha effettivamente un valore. Possiamo farlo osservando le condizioni di convergenza per le serie binomiali e scoprire che la serie converge quando # | X | <1 #