Qual è il valore medio della funzione f (x) = cos (x / 2) nell'intervallo [-4,0]?

Risposta:

# 1 / 2sin (2) #, circa #0.4546487#

Spiegazione:

Il valore medio # C # di una funzione # F # nell'intervallo # A, b # è dato da:

# C = 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx #

Qui, questo si traduce nel valore medio di:

# C = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

Usiamo la sostituzione # U = x / 2 #. Questo implica che # Du = 1 / 2dx #. Possiamo quindi riscrivere l'integrale in quanto tale:

# C = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx #

# C = 1 / 2INT _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) #

Frazionamento #1/4# in #1/2*1/2# consente # 1 / 2dx # essere presenti nell'integrale in modo che possiamo facilmente fare la sostituzione # 1 / 2dx = du #. Abbiamo anche bisogno di cambiare i limiti in # U #no #X#. Per fare questo, prendi la corrente #X# limiti e inserirli in # U = x / 2 #.

# C = 1 / 2INT _ (- 2) ^ 0cos (u) du #

Questo è un integrale comune (nota questo # D / dxsin (x) = cos (x) #):

# C = 1/2 sin (u) _ (- 2) ^ 0 #

Valutare:

# C = 1/2 (sin (0) -sin (-2)) #

# C = -1 / 2sin (-2) #

Nota che #sin (-x) = - sin (x) #:

# C = 1 / 2sin (2) #

#c approx0.4546487 #

Il valore medio della funzione v (x) = 4 / x2 sull'intervallo [[1, c] è uguale a 1. Qual è il valore di c?

C = 4 Valore medio: (int_1 ^ c (4 / x ^ 2) dx) / (c-1) int_1 ^ c (4 / x ^ 2) = [-4 / x] _1 ^ c = -4 / c + 4 Quindi il valore medio è (-4 / c + 4) / (c-1) Risoluzione (-4 / c + 4) / (c-1) = 1 ci ottiene c = 4.

Qual è il valore medio della funzione f (x) = (x-1) ^ 2 nell'intervallo [1,5]?

16/3 f (x) = (x-1) ^ 2 = x ^ 2-2x + 1 "Media di tutti i punti di" f (x) in [a, b] = (int_a ^ bf (x) dx) / (ba) int_1 ^ 5 (x ^ 2-2x + 1) dx = [x ^ 3/3-x ^ 2 + x] _1 ^ 5 = [5 ^ 3 / 3-5 ^ 2 + 5] - [ 1 / 3-1 + 1] = 65 / 3-1 / 3 = 64/3 (64/3) / 4 = 16/3

Qual è il valore medio della funzione f (t) = te ^ (- t ^ 2) nell'intervallo [0,5]?

È 1/10 (1-e ^ -25) 1 / (5-0) int_0 ^ 5 te ^ (- t ^ 2) dt = -1/10 int_0 ^ 5 e ^ (- t ^ 2) (- 2t) dt = -1/10 [e ^ (- t ^ 2)] _ 0 ^ 5 = -1/10 (e ^ -25 - e ^ 0) = 1/10 (1-e ^ -25)