Cos'è f '(- pi / 3) quando ti viene dato f (x) = sin ^ 7 (x)?

È # (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 #

Metodo

#f (x) = sin ^ 7 (x) #

È molto utile riscrivere questo come #f (x) = (sin (x)) ^ 7 # perché questo rende chiaro che ciò che abbiamo è un # 7 ^ (th) # funzione di potenza.

Usa la regola del potere e la regola della catena (questa combinazione viene spesso definita la regola di potere generalizzato).

Per #f (x) = (g (x)) ^ n #la derivata è #f '(x) = n (g (x)) ^ (n-1) * g' (x) #, In altra notazione # d / (dx) (u ^ n) = n u ^ (n-1) (du) / (dx) #

In entrambi i casi, per la tua domanda #f '(x) = 7 (sin (x)) ^ 6 * cos (x) #

Potresti scrivere #f '(x) = 7sin ^ 6 (x) * cos (x) #

A # x = - pi / 3 #, noi abbiamo

#f '(- pi / 3) = 7sin ^ 6 (- pi / 3) * cos (- pi / 3) = 7 (1/2) ^ 6 (sqrt3 / 2) = (7sqrt3) / 2 ^ 7 #

# "let" y = f (x) # # => dy / dx = f '(x) #

# => y = sin ^ 7 (x) #

# "let" u = sin (x) => y = u ^ 7 #

# du / dx = cos (x) #

# dy / du = 7 * u ^ 6 #

Adesso, #f '(x) = (dy) / (dx) #

# = (dy) / (du) * (du) / (dx) # {Sei d'accordo?}

# = 7u ^ 6 * cosx #

ma ricorda #u = sin (x) #

# => f '(x) = 7sin ^ 6 (x) cos (x) #

# => f '(- pi / 3) = 7 * (sin (-pi / 3)) ^ 6 ** cos (-pi / 3) #

# = 7 (-sqrt (3) / 2) ^ 6 ** (1/2) #

Hai l'onore di semplificare

NOTA:

{

chiedendosi perché sto facendo tutto questo "lascia che cose"?

la ragione è che ci sono più di una funzione in #f (x) #

** c'è: # Sin ^ 7 (x) # e c'è #sin (x) #!!

quindi per trovare il #f '(x) # ho bisogno di trovare il # F '# di # Sin ^ 7 (x) #

E il # F '# di #sin (x) #

è per questo che ho bisogno di lasciarlo # y = f (x) #

allora lascia #u = sin (x) #

}