Qual è la derivata di f (x) = sec ^ -1 (x)?

# d / dx sec ^ -1x = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

Processi:

In primo luogo, renderemo l'equazione un po 'più facile da gestire. Prendi la secante di entrambe le parti:

#y = sec ^ -1 x #

#sec y = x #

Quindi, riscrivi in termini di # cos #:

# 1 / cos y = x #

E risolvere per # Y #:

# 1 = xcosy #

# 1 / x = accogliente #

#y = arccos (1 / x) #

Ora sembra molto più facile distinguere. Lo sappiamo

# d / dx arccos (alpha) = -1 / (sqrt (1-alpha ^ 2)) #

quindi possiamo usare questa identità così come la regola della catena:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Un po 'di semplificazione:

# dy / dx = -1 / sqrt (1 - 1 / x ^ 2) * (-1 / x ^ 2) #

Un po 'più di semplificazione:

# dy / dx = 1 / (x ^ 2sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Per rendere l'equazione un po 'più carina, sposterò il # X ^ 2 # dentro il radicale:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2)))) #

Qualche riduzione finale:

# dy / dx = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) #

E c'è il nostro derivato.

Quando si differenziano le funzioni trigonometriche inverse, la chiave sta nel trovarle in una forma facile da gestire. Più che altro, sono un esercizio di conoscenza delle identità trigonometriche e della manipolazione algebrica.