Come trovi la derivata di y = Arcsin ((3x) / 4)?

Risposta:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Spiegazione:

Dovrai utilizzare la regola della catena. Ricordiamo che la formula per questo è:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

L'idea è di prendere prima la derivata della funzione ultraperiferica, e poi semplicemente aprirti la strada.

Prima di iniziare, identifichiamo tutte le nostre funzioni in questa espressione. Abbiamo:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # è la funzione più esterna, quindi inizieremo prendendo la derivata di quello. Così:

# dy / dx = colore (blu) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) #

Nota come lo stiamo ancora preservando # ((3x) / 4) # lì dentro. Ricorda, quando usi la regola della catena ti distingui dall'esterno, ma tu ancora mantenere le funzioni interiori quando si differenziano quelli esterni.

# (3x) / 4 # è la nostra prossima funzione più esterna, quindi dovremo taggare anche la derivata di quello. Così:

#color (grigio) (dy / dx = d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * colore (blu) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

E questa è la fine della porzione di calcolo di questo problema! Non resta che fare una semplificazione per riordinare questa espressione e finiamo con:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Se desideri un ulteriore aiuto sulla regola della catena, ti inviterei a dare un'occhiata ad alcuni dei miei video sull'argomento:

Spero che questo abbia aiutato:)

Risposta:

Dato: #color (blu) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Spiegazione:

Dato:

#color (blu) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Composizione funzionale sta applicando una funzione ai risultati di un'altra:

Osservare che il discussione della funzione trigonometrica #sin ^ (- 1) ("") # è anche una funzione.

Il Regola di derivazione è una regola per differenziare composizioni di funzioni come quello che abbiamo.

Regola di derivazione:

#color (rosso) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (o)

#color (blu) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Siamo dati

#color (blu) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Permettere, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" e "" u = (3x) / 4 #

#color (verde) (Step.1 #

Distingueremo

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Function.1

usando il risultato derivato comune:

#color (marrone) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Usando il risultato sopra possiamo differenziare Function.1 sopra come

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Result.1

#color (verde) (Step.2 #

In questo passo, differenzeremo il funzione interna # (3x) / 4 #

# D / (dx) ((3x) / 4) #

Estrai la costante

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Result.2

#color (verde) (Step.3 #

Useremo i due risultati intermedi, Result.1 e Result.2 procedere.

Inizieremo con

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Sostituire indietro #color (marrone) (u = ((3x) / 4) #

Poi, #color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / cancel 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * cancella 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Quindi, la nostra risposta finale può essere scritta come

#color (verde) (d / (dx) sin ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #