Qual è la lunghezza dell'arco di r (t) = (t, t, t) su stagno [1,2]?

Risposta:

#sqrt (3) #

Spiegazione:

Cerchiamo la lunghezza dell'arco della funzione vettoriale:

# bb (ul r (t)) = << t, t, t >> # per #t in 1,2 #

Che possiamo valutare prontamente usando:

# L = int_alpha ^ beta || bb (ul (r ') (t)) || dt #

Quindi calcoliamo la derivata, # bb (ul (r ') (t)) #:

# bb (ul r '(t)) = << 1,1,1 >> #

In questo modo otteniamo la lunghezza dell'arco:

# L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt #

# = int_1 ^ 2 sqrt (3) dt #

# = sqrt (3) t _1 ^ 2 #

# = sqrt (3) (2-1) #

# = sqrt (3) #

Questo risultato banale non dovrebbe sorprendere visto che la data equazione originale è quella di una linea retta.