Come si usa il test integrale per determinare la convergenza o la divergenza della serie: somma n e ^ -n da n = 1 a infinito?

Risposta:

Prendi l'integrale # Int_1 ^ ^ ooxe -xdx #, che è finito e nota che limita #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Quindi è convergente, quindi #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # è pure

Spiegazione:

L'affermazione formale del test integrale afferma che se #fin 0, oo) rightarrowRR # una funzione decrescente monotona che non è negativa. Quindi la somma #sum_ (n = 0) ^ fuori sede (n) # è convergente se e solo se # "Sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # è finito (Tau, Terence, Analisi I, seconda edizione, Hindustan book agency, 2009).

Questa affermazione può sembrare un po 'tecnica, ma l'idea è la seguente. Prendendo in questo caso la funzione #f (x) = xe ^ (- x) #, notiamo che per #x> 1 #, questa funzione sta diminuendo. Possiamo vedere questo prendendo la derivata. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, da #x> 1 #, così # (1-x) <0 # e #e ^ (- x)> 0 #.

A causa di questo, notiamo che per qualsiasi #ninNN _ (> = 2) # e #x in 1, oo) # così #x <= n # noi abbiamo #f (x)> = f (n) #. Perciò #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, così #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = f (1) + int_1 ^ Nf (x) dx #.

# Int_1 ^ OOF (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + int_1 ^ ^ OOE (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # usando l'integrazione per parti e quello #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Da #f (x)> = 0 #, noi abbiamo # E / 2 = int_1 ^ OOF (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, così #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Da #f (n)> = 0 #, la serie #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # aumenta come # N # aumenta. Dal momento che è limitato da # 3 / e #, deve convergere. Perciò #sum_ (n = 1) ^ fuori sede (n) # converge.

Usiamo il test della linea verticale per determinare se qualcosa è una funzione, quindi perché usiamo un test della linea orizzontale per una funzione inversa opposta al test della linea verticale?

Usiamo il test della linea orizzontale solo per determinare se l'inverso di una funzione è veramente una funzione. Ecco perché: Innanzitutto, devi chiederti che cos'è l'inverso di una funzione, è dove xey sono commutati, o una funzione che è simmetrica alla funzione originale attraverso la linea, y = x. Quindi, sì, usiamo il test della linea verticale per determinare se qualcosa è una funzione. Cos'è una linea verticale? Bene, la sua equazione è x = un certo numero, tutte le linee in cui x è uguale ad alcune costanti sono linee verticali. Pertanto, mediante

Come determinare la convergenza o la divergenza della sequenza an = ln (n ^ 2) / n?

La sequenza converge Per scoprire se la sequenza a_n = ln (n ^ 2) / n = (2ln (n)) / n converge, osserviamo che a_n è come n-> oo. lim_ (n-> oo) a_n = lim_ (n-> oo) (2ln (n)) / n Usando la regola di Hôpital, = lim_ (n-> oo) (2 / n) / 1 = lim_ (n-> oo) 2 / n = 0 Poiché lim_ (n-> oo) a_n è un valore finito, la sequenza converge.

Come trovo la convergenza o la divergenza di questa serie? somma da 1 a infinito di 1 / n ^ lnn

Converge Considera la serie sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, dove p> 1. Con il p-test, questa serie converge. Ora, 1 / n ^ ln n <1 / n ^ p per tutti abbastanza grandi n fintanto che p è un valore finito. Quindi, con il test di confronto diretto, sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n converge. In effetti, il valore è approssimativamente uguale a 2.2381813.