Qual è l'arclength di r = 4theta su theta in [-pi / 4, pi]?

Risposta:

#approx 27.879 #

Spiegazione:

Questo è un metodo di contorno. La macinatura di alcuni dei lavori è stata fatta al computer.

Lunghezza dell'arco #s = int dot s dt #

e #dot s = sqrt (vec v * vec v) #

Ora, per #vec r = 4 theta hat r #

#vec v = punto r cappello r + punto dot theta cappello punto #

# = 4 punti theta hat r + 4 theta dot theta hat theta #

# = 4 punti theta (cappello r + theta hat theta) #

Così #dot s = 4 punti theta sqrt (1 + theta ^ 2) #

Lunghezza dell'arco #s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt #

# = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta #

# = 2 theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta _ (- pi / 4) ^ (pi) # soluzione per computer. Vedi Youtube collegato qui per il metodo

#approx 27.879 # soluzione per computer

Qual è l'arclength di r = 3 / 4theta su theta in [-pi, pi]?

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) unità. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength è dato da: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) d theta Semplifica: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Da simmetria: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Applica la sostituzione theta = tanphi: L = 3 / 2intec ^ 3phidphi Questo è un integrale noto: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Invertire la sostituzione: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Inserisci i limit

Mostra che, (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta - i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Vedi sotto. Sia 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha), qui r = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) = sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2 ) -2) = 2cos (theta / 2) e tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) o alpha = theta / 2 quindi 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alpha) + isin (-alpha)) = r (cosalpha-isinalpha) e possiamo scrivere (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n usando il teorema di DE MOivre come r ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) = 2r ^ ncosnalpha = 2 * 2 ^ nc

Se sin theta + cos theta = p, qual è il peccato ^ 2 theta + cos ^ 4theta in termini di p?

1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2 (sintheta + costheta) ^ 2 = 1 + 2sinthetacostheta = p ^ 2 quindi sinthetacostheta = (p ^ 2-1) / 2 ora sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = sin ^ 2theta + (1-sin ^ 2theta) cos ^ 2theta = 1-sin ^ 2thetacos ^ 2theta e mettendo tutti insieme sin ^ 2theta + cos ^ 4theta = 1 - ((p ^ 2-1) / 2) ^ 2