Qual è la regola del prodotto per i derivati? + Esempio

La regola del prodotto per i derivati afferma che viene data una funzione #f (x) = g (x) h (x) #, la derivata della funzione è #f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) #

Il regola del prodotto è usato principalmente quando la funzione per cui si desidera la derivata è palesemente il prodotto di due funzioni, o quando la funzione sarebbe più facilmente differenziata se considerata come il prodotto di due funzioni. Ad esempio, guardando la funzione #f (x) = tan ^ 2 (x) #, è più facile esprimere la funzione come un prodotto, in questo caso vale a dire #f (x) = tan (x) tan (x) #.

In questo caso, esprimere la funzione come prodotto è più facile perché le derivate di base per le sei funzioni trigonometriche primarie (#sin (x), cos (x), tan (x), csc (x), sec (x), lettino (x) #) sono noti e sono, rispettivamente, #cos (x), -sin (x), sec ^ 2 (x), -csc (x) cot (x), sec (x) tan (x), -csc ^ 2 (x) #

Tuttavia, il derivato per #f (x) = tan ^ 2 (x) # non è uno dei 6 derivati trigonometrici elementari. Quindi, consideriamo #f (x) = tan ^ 2 (x) = tan (x) tan (x) # in modo che possiamo affrontare #tan (x) #, per cui conosciamo la derivata. Utilizzando la derivata di #tan (x) #, cioè # d / dx tan (x) = sec ^ 2 (x) #e la regola della catena # (df) / dx = g '(x) h (x) + g (x) h' (x) #, otteniamo:

#f '(x) = d / dx (tan (x)) tan (x) + tan (x) d / dx (tan (x)) #

# d / dx tan (x) = sec ^ 2 (x) #, così…

#f '(x) = sec ^ 2 (x) tan (x) + tan (x) sec ^ 2 (x) = 2tan (x) sec ^ 2 (x) #