Qual è la soluzione generale dell'equazione differenziale y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0?

# "L'equazione caratteristica è:" #

# z ^ 3 - z ^ 2 + 4 z = 0 #

# => z (z ^ 2 - z + 4) = 0 #

# => z = 0 "OR" z ^ 2 - z + 4 = 0 #

# "disco del quad. eq. = 1 - 16 = -15 <0" #

# "quindi abbiamo due soluzioni complesse, sono" #

#z = (1 pm sqrt (15) i) / 2 #

# "Quindi la soluzione generale dell'equazione omogenea è:" #

#A + B 'exp (x / 2) exp ((sqrt (15) / 2) i x) + #

#C 'exp (x / 2) exp (- (sqrt (15) / 2) i x) #

# = A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

# "La soluzione particolare per l'equazione completa è" #

# "y = x," #

# "È facile da vedere." #

# "Quindi la soluzione completa è:" #

#y (x) = x + A + B exp (x / 2) cos (sqrt (15) x / 2) + C exp (x / 2) sin (sqrt (15) x / 2) #

Risposta:

# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Spiegazione:

Abbiamo:

# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #

Oppure, in alternativa:

# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A

Questo è un terzo ordinare l'equazione di differenziazione lineare non omogenea con coefficienti costanti. L'approccio standard è trovare una soluzione, # # Y_c dell'equazione omogenea osservando l'equazione ausiliaria, che è l'equazione polinomiale coi coefficienti delle derivate., e quindi trovando una soluzione particolare indipendente, # # Y_p dell'equazione non omogenea.

Le radici dell'equazione ausiliaria determinano parti della soluzione, che se linearmente indipendenti quindi la sovrapposizione delle soluzioni formano la soluzione generale completa.

• Vere radici distinte # m = alpha, beta, … # produrrà soluzioni linearmente indipendenti della forma # Y_1 = Ae ^ (Alphax) #, # Y_2 = Be ^ (BETAx) #, …
• Vere radici ripetute # M = alpha #, produrrà una soluzione della forma # Y = (Ax + B) e ^ (Alphax) # dove il polinomio ha lo stesso grado della ripetizione.
• Radici complesse (che devono verificarsi come coppie coniugate) # M = p + -qi # produrrà una coppia soluzioni linearmente indipendenti della forma # Y = e ^ (px) (Acos (QX) + BSIN (QX)) #

Soluzione particolare

Per trovare una soluzione particolare dell'equazione non omogenea:

# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # con #f (x) = 4 # ….. C

allora come #f (x) # è un polinomio di grado #0#, cercheremmo una soluzione polinomiale dello stesso grado, cioè della forma #y = a #

Tuttavia, tale soluzione esiste già nella soluzione CF e quindi deve considerare una potenziale soluzione del modulo # Y = ax #, Dove le costanti #un# deve essere determinato mediante sostituzione diretta e confronto:

differenziando # Y = ax # wRT #X# noi abbiamo:

# y '= a #

# y '' = 0 #

# y '' '= 0 #

Sostituendo questi risultati nel DE A otteniamo:

# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #

E così formiamo la soluzione particolare:

# y_p = x #

Soluzione generale

Che poi conduce al GS di A}

# y (x) = y_c + y_p #

# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)} + x #

Nota questa soluzione ha #3# costanti di integrazione e #3# soluzioni linearmente indipendenti, quindi dal Teorema dell'Esistenza e dell'unicità la loro sovrapposizione è la Soluzione Generale