Quali sono le dimensioni di una scatola che utilizzerà la quantità minima di materiali, se l'azienda ha bisogno di una scatola chiusa in cui il fondo ha la forma di un rettangolo, dove la lunghezza è il doppio della larghezza e la scatola deve contenere 9000 pollici cubici di materiale?

Iniziamo inserendo alcune definizioni.

Se chiamiamo # H # l'altezza della scatola e #X# i lati più piccoli (quindi i lati più grandi sono # # 2xpossiamo dirlo volume

# V = 2x * x * h = 2x ^ 2 * h = 9000 # da cui estraiamo # H #

# H = 9000 / (2x ^ 2) = 4500 / x ^ 2 #

Ora per il superfici (= Materiale)

Top & fondo: # 2x * x # volte #2-># Area =# 4x ^ 2 #

Lati corti: # x * h # volte #2-># Area =# # 2xH

Lati lunghi: # 2x * h # volte #2-># Area =# # 4xh

Area totale:

# A = 4x ^ 2 + 6xh #

Sostituendo per # H #

# A = 4x ^ 2 + 6x * 4500 / x ^ 2 = 4x ^ 2 + 27000 / x = 4x ^ 2 + 27000x ^ -1 #

Per trovare il minimo, ci differenziare e impostare #UN'# a #0#

# A '= 8x-27000x ^ -2 = 8x-27000 / x ^ 2 = 0 #

Che porta a # 8x ^ 3 = 27000-> x ^ 3 = 3375-> x = 15 #

Risposta:

Il lato corto è #15# pollici

Il lato lungo è #2*15=30# pollici

L'altezza è #4500/15^2=20# pollici

Controlla la tua risposta! #15*30*20=9000#