Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Risposta:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Spiegazione:

Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione # U = sqrt (2x-1) #. Il derivato è quindi

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è la stessa cosa moltiplicando per il solo denominatore) per integrare rispetto a # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere il # X ^ 2 # in termini di # U # (dal momento che non puoi integrarti #X# riguardo a # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2U ^ 2 + 1) / 4 #

Possiamo ricollegarlo al nostro integrale per ottenere:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Questo può essere valutato usando la regola del potere inverso:

N ° 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Sostituire per # U = sqrt (2x-1) #, noi abbiamo:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Qual è l'integrale di int (1 + e ^ (2x)) ^ (1/2) dx?

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Per prima cosa sostituiamo: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Esegui un seconda sostituzione: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1; du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Dividi usando le frazioni parziali: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Ora

Che cosa è (sqrt (5+) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3+) sqrt (5)) - (sqrt (5) sqrt (3)) / (sqrt (3+) sqrt (3) sqrt (5))?

2/7 Prendiamo, A = (sqrt5 + sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (sqrt3 + sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5 -sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = (sqrt5 + sqrt3) / (2sqrt3 + sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) / (2sqrt3-sqrt5) = ((sqrt5 + sqrt3) (2sqrt3-sqrt5) - (sqrt5-sqrt3) ) (2sqrt3 + sqrt5)) / ((2sqrt3 + sqrt5) (2sqrt3-sqrt5) = ((2sqrt15-5 + 2 * 3-sqrt15) - (2sqrt15 + 5-2 * 3-sqrt15)) / ((2sqrt3) ^ 2- (sqrt5) ^ 2) = (cancel (2sqrt15) -5 + 2 * 3cancel (-sqrt15) - cancel (2sqrt15) -5 + 2 * 3 + cancel (sqrt15)) / (12-5) = ( -10 + 12) / 7 = 2/7 Si noti che, se nei denominatori sono (sqrt3 + sqrt (3 + sqrt5))

Qual è l'integrale di int (sec ^ 2x) / sqrt (4-sec ^ 2x) dx?

La risposta di questa domanda = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) Per questo take tanx = t Then sec ^ 2x dx = dt Anche sec ^ 2x = 1 + tan ^ 2x Mettendo questi valori nell'equazione originale otteniamo intdt / (sqrt (3-t ^ 2)) = sin ^ (- 1) (t / sqrt3) = sin ^ (- 1) (tanx / sqrt3) Spero che aiuti !!