Qual è l'integrale di int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Risposta:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Spiegazione:

Il nostro grosso problema in questo integrale è la radice, quindi vogliamo liberarcene. Possiamo farlo introducendo una sostituzione # U = sqrt (2x-1) #. Il derivato è quindi

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Quindi dividiamo (e ricordiamo, dividendo per un reciproco è la stessa cosa moltiplicando per il solo denominatore) per integrare rispetto a # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Ora tutto ciò che dobbiamo fare è esprimere il # X ^ 2 # in termini di # U # (dal momento che non puoi integrarti #X# riguardo a # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2U ^ 2 + 1) / 4 #

Possiamo ricollegarlo al nostro integrale per ottenere:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Questo può essere valutato usando la regola del potere inverso:

N ° 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Sostituire per # U = sqrt (2x-1) #, noi abbiamo:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #