Perché la radice quadrata di 5 è un numero irrazionale?

Risposta:

Vedi spiegazione …

Spiegazione:

Ecco uno schizzo di una prova per contraddizione:

supporre #sqrt (5) = p / q # per alcuni numeri interi positivi # P # e # # Q.

Senza perdita di generalità, possiamo supporre che #p, q # sono i più piccoli di questi numeri.

Quindi per definizione:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Moltiplica entrambe le estremità di # Q ^ 2 # ottenere:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Così # P ^ 2 # è divisibile per #5#.

Allora da allora #5# è primo, # P # deve essere divisibile per #5# pure.

Così #p = 5m # per un numero intero positivo # M #.

Quindi abbiamo:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Dividi le due estremità di #5# ottenere:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Dividi le due estremità di # M ^ 2 # ottenere:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Così #sqrt (5) = q / m #

Adesso #p> q> m #, così #q, m # è una coppia più piccola di numeri interi il cui quoziente è #sqrt (5) #, contraddicendo la nostra ipotesi.

Quindi la nostra ipotesi #sqrt (5) # può essere rappresentato da # P / q # per alcuni interi # P # e # # Q è falso. Questo è, #sqrt (5) # non è razionale. Questo è, #sqrt (5) # è irrazionale.