Come trovo l'integrale int (ln (x)) ^ 2dx?

Il nostro obiettivo è ridurre il potere di #ln x # in modo che l'integrale sia più facile da valutare.

Possiamo realizzare ciò utilizzando l'integrazione per parti. Tieni presente la formula IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Ora, lasceremo #u = (lnx) ^ 2 #, e #dv = dx #.

Perciò, #du = (2lnx) / x dx #

#v = x #.

Ora, assemblando i pezzi, otteniamo:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Questo nuovo integrale sembra molto meglio! Semplificando un po 'e portando avanti la costante, produci:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Ora, per sbarazzarci di questo prossimo integrale, faremo una seconda integrazione per parti, lasciando #u = ln x # e #dv = dx #.

Così, #du = 1 / x dx # e #v = x #.

L'assemblaggio ci dà:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Ora, tutto ciò che resta da fare è semplificare, tenendo presente di aggiungere la costante di integrazione:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + C #

E lì ce l'abbiamo. Ricorda, l'integrazione per parti riguarda esclusivamente il prelievo # U # in modo che le cose confuse vengano eliminate dall'integrand. In questo caso abbiamo portato # (ln x) ^ 2 # giù verso #ln x #e poi verso il basso # 1 / x #. Alla fine, alcuni #X#E 'cancellato, ed è diventato più facile da integrare.

Come trovo l'integrale int (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Utilizzo dell'integrazione per parti, intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + C Ricorda che l'integrazione per parti usa la formula: intu dv = uv - intv du Che è basato sulla regola del prodotto per i derivati: uv = vdu + udv Per usare questa formula, dobbiamo decidere quale termine sarà u, e quale sarà dv. Un modo utile per capire quale termine va dove è il metodo ILATE. Logotipi di Trig inversi Algebra Trig Exponentials Questo ti dà un ordine di priorità di quale termine è usato per "u", quindi tutto ciò che rimane

Come trovo l'integrale int (x * cos (5x)) dx?

Ti terremo a mente la formula per l'integrazione per parti, che è: int u dv = uv - int v du Per trovare questo integrale con successo lasceremo u = x, e dv = cos 5x dx. Pertanto, du = dx e v = 1/5 sin 5x. (v può essere trovato usando una rapida sostituzione con u) Il motivo per cui ho scelto x per il valore di u è perché so che in seguito finirò per integrarmi v moltiplicato per la derivata di u. Dato che la derivata di u è solo 1, e poiché l'integrazione di una funzione trigonometrica da sola non lo rende più complesso, abbiamo effettivamente rimosso la x dall'integrando

Come trovo l'integrale int (x * e ^ -x) dx?

Int xe ^ (- x) dx = -xe ^ (- x) - e ^ (- x) + C Processo: int x e ^ (- x) dx =? Questo integrale richiederà l'integrazione per parti. Tieni a mente la formula: int u dv = uv - int v du Vi faremo u = x, e dv = e ^ (- x) dx. Pertanto, du = dx. Trovare v richiederà una sostituzione u; Userò la lettera q invece di u dato che stiamo già usando u nella formula dell'integrazione per parti. v = int e ^ (- x) dx lascia q = -x. quindi, dq = -dx Riscriveremo l'integrale, aggiungendo due negativi per ospitare dq: v = -int -e ^ (- x) dx Scritto in termini di q: v = -int e ^ (q) dq Pertanto, v = -e ^ (q)