Perché la funzione non è differenziabile?

Risposta:

#UN)# La derivata non esiste

#B) # sì

#C) # No

Spiegazione:

Domanda A

Puoi vedere questo diversi modi. O possiamo differenziare la funzione per trovare:

#f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) #

che non è definito a # X = 2 #.

Oppure, possiamo guardare al limite:

#lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ (2/5) -3 (2 -2) ^ (3/5)) / h = #

# = Lim_ (h-> 0) 0 / h #

Questo limite non esiste, il che significa che la derivata non esiste in quel punto.

Domanda B

Sì, si applica il teorema del valore medio. La condizione di differenziabilità nel teorema del valore medio richiede solo che la funzione sia differenziabile nell'intervallo aperto # (A, b) # (IE no #un# e # B # loro stessi), quindi nell'intervallo #2,5#, il teorema si applica perché la funzione è differenziabile nell'intervallo aperto #(2,5)#.

Possiamo anche vedere che c'è effettivamente un punto con la pendenza media in quell'intervallo:

Domanda C

No. Come accennato in precedenza, il teorema del valore medio richiede che la funzione sia completamente differenziabile nell'intervallo aperto #(1,4)#e in precedenza abbiamo detto che la funzione non è differenziabile in # X = 2 #, che si trova in quell'intervallo. Ciò significa che la funzione non è differenziabile nell'intervallo e quindi il teorema del valore medio non si applica.

Possiamo anche vedere che non vi è alcun punto nell'intervallo che contiene la pendenza media di questa funzione, a causa della "curva forte" nella curva.