Una funzione può essere continua e non differenziabile su un determinato dominio ??

Risposta:

Sì.

Spiegazione:

Uno degli esempi più sorprendenti di ciò è la funzione Weierstrass, scoperta da Karl Weierstrass che ha definito nel suo articolo originale come:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

dove # 0 <a <1 #, # B # è un numero dispari positivo e #ab> (3pi + 2) / 2 #

Questa è una funzione molto spigolosa che è continua ovunque sulla linea reale, ma non differenziabile da nessuna parte.

Risposta:

Sì, se ha un punto "piegato". Un esempio è #f (x) = | x | # a # X_0 = 0 #

Spiegazione:

La funzione continua significa praticamente disegnarla senza togliere la matita dalla carta. Matematicamente, significa che per qualsiasi # # X_0 i valori di #f (x_0) # come sono avvicinati all'infinitamente piccolo # Dx # da sinistra e destra devono essere uguali:

#lim_ (X-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (X-> x_0 ^ +) (f (x)) #

dove il segno meno significa avvicinarsi da sinistra e segno più significa avvicinarsi da destra.

Funzione differenziabile praticamente significa una funzione che cambia costantemente la sua pendenza (NON a una velocità costante). Pertanto, una funzione che non è differenziabile in un dato punto significa praticamente che modifica bruscamente la sua inclinazione dalla sinistra di quel punto a destra.

Vediamo 2 funzioni.

#f (x) = x ^ 2 # a # X_0 = 2 #

Grafico

graph {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafico (ingrandito)

graph {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Da quando a # X_0 = 2 # il grafico può essere formato senza togliere la matita dalla carta, la funzione è continua in quel punto. Dal momento che non è piegato a quel punto, è anche differenziabile.

#G (x) = | x | # a # X_0 = 0 #

Grafico

graph {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

A # X_0 = 0 # la funzione è continua come può essere disegnata senza togliere la matita dalla carta. Tuttavia, dal momento che si piega a quel punto, la funzione non è differenziabile.