Quali sono gli estremi globali e locali di f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1)?

Risposta:

#f (x) # ha un minimo assoluto a #(-1. 0)#

#f (x) # ha un massimo locale a # (- 3, 4e ^ -3) #

Spiegazione:

#f (x) = e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) #

#f '(x) = e ^ x (2x + 2) + e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) # Regola del prodotto

# = e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) #

Per gli estremi assoluti o locali: #f '(x) = 0 #

Ecco dove: # e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) = 0 #

Da # e ^ x> 0 per tutto x in RR #

# x ^ 2 + 4x + 3 = 0 #

# (x + 3) (x-1) = 0 -> x = -3 o -1 #

#f '' (x) = e ^ x (2x + 4) + e ^ x (x ^ 2 + 4x + 3) # Regola del prodotto

# = e ^ x (x ^ 2 + 6x + 7) #

Di nuovo, da allora # E ^ x> 0 # dobbiamo solo testare il segno di # (X ^ 2 + 6x + 7) #

ai nostri punti estremi per determinare se il punto è massimo o minimo.

#f '' (- 1) = e ^ -1 * 2> 0 -> f (-1) # è un minimo

#f '' (- 3) = e ^ -3 * (-2) <0 -> f (-3) # è un massimo

Considerando il grafico di #f (x) # sotto è chiaro quello #f (-3) # è un massimo locale e #f (-1) # è un minimo assoluto.

grafico {e ^ x (x ^ 2 + 2x + 1) -5.788, 2.005, -0.658, 3.24}

Infine, valutando i punti estremi:

#f (-1) = e ^ -1 (1-2 + 1) = 0 #

e

#f (-3) = e ^ -3 (9-6 + 1) = 4e ^ -3 ~ = 0.199 #