I raggi di due cerchi concentrici sono 16 cm e 10 cm. AB è un diametro del cerchio più grande. BD è tangente al cerchio più piccolo toccandolo a D. Qual è la lunghezza di AD?

Risposta:

#bar (AD) = 23,5797 #

Spiegazione:

Adottare l'origine #(0,0)# come il centro comune per # # C_I e # # C_e e chiamando # R_i = 10 # e # R_e = 16 # il punto di tangenza # P_0 = (x_0, y_0) # è all'incrocio #C_i nn C_0 # dove

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

Qui # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Risolvere per #C_i nn C_0 # noi abbiamo

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = r_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2):} #

Sottraendo il primo dalla seconda equazione

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2-r_i ^ 2 # così

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # e # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Finalmente la distanza ricercata è

#bar (AD) = sqrt ((+ r_e x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

o

#bar (AD) = 23,5797 #

Spiegazione:

Se #bar (BD) # è tangente a # # C_I poi #hat (ODB) = pi / 2 # quindi possiamo applicare Pitagora:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # la determinazione # # R_0

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Il punto # D # coordinate, chiamate # (X_0, y_0) # dovrebbe essere ottenuto prima di calcolare la distanza ricercata #bar (AD) #

Ci sono molti modi per farlo. Un metodo alternativo è

# Y_0 = bar (BD) sin (cappello (OBD)) # ma #sin (cappello (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

poi

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # e

# X_0 = sqrt (r_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Come da dati dati viene disegnata la figura sopra.

O è il centro comune di due cerchi concentrici

#AB -> "diametro del cerchio più grande" #

# AO = OB -> "raggio del cerchio più grande" = 16 cm #

#DO -> "raggio del cerchio più piccolo" = 10 cm #

#BD -> "tangente al cerchio più piccolo" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Permettere # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

Nel #Delta BDO-> cos / _BOD = costheta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Applicazione della legge sul coseno in #Delta ADO # noi abbiamo

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * DOcos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + 2AO * Doxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23,58 centimetri #