Qual è l'equazione della linea tangente a f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x at x = sqrtpi?

Risposta:

L'equazione è approssimativa:

#y = 3,34x - 0,27 #

Spiegazione:

Per iniziare, dobbiamo determinare #f '(x) #, così che sappiamo quale sia la pendenza di #f (x) # è in qualsiasi momento, #X#.

#f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x) #

utilizzando la regola del prodotto:

#f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x)) #

Questi sono derivati standard:

# d / dx e ^ x = e ^ x #

# d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x) #

Quindi il nostro derivato diventa:

#f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x)) #

Inserimento del dato #X# valore, la pendenza a #sqrt (pi) # è:

#f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) #

Questa è la pendenza della nostra linea al punto # x = sqrt (pi) #. Possiamo quindi determinare l'intercetta y impostando:

#y = mx + b #

#m = f '(sqrt (pi)) #

#y = f (sqrt (pi)) #

Questo ci dà l'equazione non semplificata per la nostra linea:

#f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

# e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b #

Risolvendo per b, finiamo con la formula fastidiosamente complicata:

#b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Quindi la nostra linea finisce per essere:

#y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi)) #

Se calcoliamo realmente ciò a cui questi coefficienti fastidiosamente grandi corrispondono, finiamo con la linea approssimativa:

#y = 3,34x - 0,27 #