Qual è l'equazione della linea tangente a f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x at x = sqrtpi?

Qual è l'equazione della linea tangente a f (x) = y = e ^ x sin ^ 2x at x = sqrtpi?
Anonim

Risposta:

L'equazione è approssimativa:

y = 3,34x - 0,27

Spiegazione:

Per iniziare, dobbiamo determinare f '(x) , così che sappiamo quale sia la pendenza di f (x) è in qualsiasi momento, X.

f '(x) = d / dx f (x) = d / dx e ^ x sin ^ 2 (x)

utilizzando la regola del prodotto:

f '(x) = (d / dx e ^ x) sin ^ 2 (x) + e ^ x (d / dx sin ^ 2 (x))

Questi sono derivati standard:

d / dx e ^ x = e ^ x

d / dx sin ^ 2 (x) = 2sin (x) cos (x)

Quindi il nostro derivato diventa:

f '(x) = e ^ x sin (x) (sin (x) + 2cos (x))

Inserimento del dato X valore, la pendenza a sqrt (pi) è:

f '(sqrt (pi)) = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))

Questa è la pendenza della nostra linea al punto x = sqrt (pi) . Possiamo quindi determinare l'intercetta y impostando:

y = mx + b

m = f '(sqrt (pi))

y = f (sqrt (pi))

Questo ci dà l'equazione non semplificata per la nostra linea:

f (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b

e ^ (sqrt (pi)) sin ^ 2 (sqrt (pi)) = (e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi)))) x + b

Risolvendo per b, finiamo con la formula fastidiosamente complicata:

b = e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi))

Quindi la nostra linea finisce per essere:

y = e ^ (sqrt (pi)) sin (sqrt (pi)) (sin (sqrt (pi)) + 2cos (sqrt (pi))) x + e ^ (sqrt (pi)) sin sqrt (pi) sin sqrt (pi) - sqrt (pi) (sin (sqrt (pi)) + 2 cos (sqrt (pi))

Se calcoliamo realmente ciò a cui questi coefficienti fastidiosamente grandi corrispondono, finiamo con la linea approssimativa:

y = 3,34x - 0,27