Qual è la derivata implicita di 4 = (x + y) ^ 2?

Risposta:

Puoi usare il calcolo e dedicare qualche minuto a questo problema oppure puoi usare l'algebra e passare qualche secondo, ma in entrambi i casi otterrai # Dy / dx = -1 #.

Spiegazione:

Inizia prendendo la derivata rispetto a entrambi i lati:

# D / dx (4) = d / dx (x + y) ^ 2 #

A sinistra, abbiamo la derivata di una costante - che è giusta #0#. Questo rompe il problema fino a:

# 0 = d / dx (x + y) ^ 2 #

Valutare # D / dx (x + y) ^ 2 #, abbiamo bisogno di usare la regola di potere e la regola della catena:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) ^ (2-1) #

Nota: moltiplichiamo per # (X + y) '# perché la regola della catena ci dice che dobbiamo moltiplicare la derivata dell'intera funzione (in questo caso # (X + y) ^ 2 # dalla funzione interna (in questo caso # (X + y) #).

# D / dx (x + y) ^ 2 = (x + y) '* 2 (x + y) #

Quanto a # (X + y) '#, nota che possiamo usare la regola della somma per scomporla # x '+ y' #. #X'# è semplicemente #1#e perché in realtà non sappiamo cosa # Y # è, dobbiamo andare # Y '# come # Dy / dx #:

# D / dx (x + y) ^ 2 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Ora che abbiamo trovato il nostro derivato, il problema è:

# 0 = (1 + dy / dx) (2 (x + y)) #

Fare qualche algebra da isolare # Dy / dx #, vediamo:

# 0 = (1 + dy / dx) (2x + 2y) #

# 0 = 2x + dy / DX2X + dy / dx2y + 2y #

# 0 = x + dy / dxx + dy / DXY + y #

# -X-y = dy / dxx + dy / DXY #

# -X-y = dy / dx (x + y) #

# Dy / dx = (- x-y) / (x + y) #

È interessante notare che questo è uguale #-1# per tutti #X# e # Y # (tranne quando # X = -y #). Perciò, # Dy / dx = -1 #. Avremmo potuto immaginarlo senza usare alcun calcolo! Guarda l'equazione # 4 = (x + y) ^ 2 #. Prendi la radice quadrata di entrambi i lati per ottenere # + - 2 = x + y #. Ora sottrarre #X# da entrambi i lati, e abbiamo #y = + - 2-x #. Ricorda questi dall'algebra? La pendenza di questa linea è #-1#e dal momento che la derivata è la pendenza, avremmo potuto dire # Dy / dx = -1 # ed evitato tutto quel lavoro.

Qual è la derivata implicita di 1 = x / y-e ^ (xy)?

Dy / dx = (ye ^ (xy) y ^ 3) / (x-xe ^ (xy) y ^ 2) 1 = x / ye ^ (xy) Per prima cosa dobbiamo sapere che possiamo differenziare ogni parte separatamente. = 2x + 3 possiamo differenziare 2x e 3 separatamente dy / dx = dy / dx2x + dy / dx3 rArrdy / dx = 2 + 0 Quindi allo stesso modo possiamo differenziare 1, x / ye e ^ (xy) separatamente dy / dx1 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) Regola 1: dy / dxC rArr 0 derivata di una costante è 0 0 = dy / dxx / y-dy / dxe ^ (xy) dy / dxx / y dobbiamo differenziare questo usando la regola del quoziente Regola 2: dy / dxu / vrArr ((du) / dxv- (dv) / dxu) / v ^ 2 o (vu'-uv ') / v ^

Qual è la derivata implicita di 1 = x / y?

Dy / dx = y / x Poiché y = x, dy / dx = 1 Abbiamo f (x, y) = x / y = 1 x / y = xy ^ -1 Iniziamo prima rispetto a x prima: d / dx [xy ^ -1] = d / dx [1] y ^ -1 + xd / dx [y ^ -1] = 0 Usando la regola della catena, otteniamo: d / dx = d / dy * dy / dx y ^ -1 + dy / dxxd / dx [y ^ -1] = 0 y ^ -1 + dy / dx-xy ^ -2 = 0 dy / dxxy ^ -2 = y ^ -1 dy / dx = y ^ - 1 / (xy ^ -2) = y ^ 2 / (xy) = y / x Poiché, sappiamo y = x possiamo dire che dy / dx = x / x = 1

Qual è la derivata implicita di 1 = e ^ y-xcos (xy)?

(dy) / dx = (cosxy-xysinxy) / (e ^ y + x ^ 2 (sinossi)) 1 = e ^ y-xcos (xy) rArr (d1) / dx = d / dx (e ^ y-xcos (xy)) rArr0 = (de ^ y) / dx- (d (xcos (xy))) / dx rArr0 = (dy / dx) e ^ y - (((dx) / dx) cosxy + x (dcosxy) / dx) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x (dxy) / dx (-sinxy)) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x ((y + x (dy ) / dx) (- sinxy))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y- (cosxy + x (-ysinxy-x (dy) / dx (sinxy))) rArr0 = (dy / dx) e ^ y - (cosxy-xysinxy-x ^ 2 (dy) / dx (sinxy)) rArr0 = (dy / dx) e ^ y-cosxy + xysinxy + x ^ 2 (dy) / dx (sinxy) rArr0 = (dy / dx ) e ^ y + x ^ 2 (dy) / dx (sinossi) -cosxy + xysinxy rArr0 = (d