Quali sono gli estremi locali di f (x) = xlnx-xe ^ x?

Risposta:

Questa funzione non ha estremo locale.

Spiegazione:

#f (x) = xlnx-xe ^ x implica #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Per #X# essere un estremum locale, #G (x) # deve essere zero Mostreremo ora che questo non si verifica per alcun valore reale di #X#.

Nota che

#g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x #

così #G ^ '(x) # svanirà se

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Questa è un'equazione trascendentale che può essere risolta numericamente. Da #g ^ '(0) = + oo # e #G ^ '(1) = 1-3e <0 #, la radice si trova tra 0 e 1. E da allora #g ^ {''} (0) <0 # per tutti positivo #X#, questa è l'unica radice e corrisponde a un massimo per #G (x) #

È abbastanza facile risolvere l'equazione numericamente, e questo lo dimostra #G (x) # ha un massimo a # X = 0,3152 # e il valore massimo è #g (0,3152) = -1,957 #. Dal momento che il valore massimo di #G (x) # è negativo, non c'è valore di #X# al quale #G (x) # svanisce.

Potrebbe essere istruttivo guardarlo graficamente:

Grafico {x log (x) -x e ^ x -0,105, 1, -1,175, 0,075}

Come puoi vedere dal grafico sopra, la funzione #f (x) # in realtà ha un massimo a # X = 0 # - ma questo non è un massimo locale. Il grafico sottostante mostra questo #g (x) equiv f ^ '(x) # mai prende il valore zero.

grafico {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0,105, 1, -3, 0,075}