Quali sono gli estremi locali, se esistono, di f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Risposta:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) circa 0.541 #

Spiegazione:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Applicazione della regola del prodotto

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Per massimi o minimi locali: #f '(x) = 0 #

Permettere # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 o z = -2 #

Quindi per il massimo o il minimo locale:

#lnx = 0 o lnx = -2 #

#:. x = 1 o x = e ^ -2 circa 0.135 #

Ora esamina il grafico di #x (lnx) ^ 2 # sotto.

graph {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Possiamo osservare quello semplificato #f (x) # ha un minimo locale a # X = 1 # e un massimo locale a #x in (0, 0.25) #

Quindi: #f_min = f (1) = 0 # e #f_max = f (e ^ (- 2)) circa 0.541 #