Che cos'è una funzione d'onda e quali sono i requisiti per essere ben educata, cioè per rappresentare correttamente la realtà fisica?

Risposta:

La funzione d'onda è una funzione di valore complesso di cui l'ampiezza (valore assoluto) fornisce la distribuzione di probabilità. Tuttavia non si comporta allo stesso modo di un'onda ordinaria.

Spiegazione:

Nella meccanica quantistica, parliamo dello stato di un sistema. Uno degli esempi più semplici è una particella che può essere in una rotazione verso l'alto o verso il basso, ad esempio un elettrone. Quando misuriamo la rotazione di un sistema, lo misuriamo in alto o in basso. Uno stato con il quale siamo certi dell'esito della misurazione, chiamiamo un autovalutazione (uno stato positivo # # Uarr e uno stato giù # # Darr).

Ci sono anche stati in cui non siamo certi dell'esito della misurazione prima di misurarla. Questi stati chiamiamo una sovrapposizione e possiamo scriverli come # A * b * uarr + darr #. Qui abbiamo # | A | ^ 2 # la probabilità di misurare # # Uarr, e # | B | ^ 2 # la probabilità di misurare # # Darr. Questo significa ovviamente quello # | A | ^ 2 + | B | ^ 2 = 1 #. Permettiamo # A, b # per essere numeri complessi, la ragione di ciò non è immediatamente chiara da questo esempio, ma nel contesto della funzione d'onda sarà più chiara. La linea di fondo è che ci sono più stati di uno che danno le stesse probabilità di misurare gli spin.

Ora potremmo provare ad assegnare una funzione a questo spin state. Poiché ci sono solo due risultati della misurazione dello spin, abbiamo una funzione che ha solo due possibili input. Se chiamiamo la funzione # # Psi (questo è un simbolo molto convenzionale usato per una wavefuntion), abbiamo impostato #psi (uarr) = a # e #psi (Darr) = B #.

Ora passiamo alla funzione d'onda. Un aspetto di una particella è ovviamente la sua posizione. Proprio come nel caso dello spin, possiamo misurare valori distinti per la posizione, e possiamo avere stati in cui il risultato della misurazione non è stato fissato in anticipo. Dal momento che abbiamo una quantità infinita di posizioni in cui una particella può essere, scrivendo questo stato come # * Un "qui" + b * "là" # non lo farò. Tuttavia, l'idea della funzione che abbiamo usato sopra lo fa. Quindi per qualsiasi posizione #X#, abbiamo un valore complesso #psi (x) #. La funzione di densità di probabilità della particella è ora data da # | Psi (x) | ^ 2 #.

In tutta onestà, storicamente l'idea della funzione d'onda è più antica di quella dello spin, ma penso che comprendere l'idea dello spin in una certa misura aiuti nella comprensione della funzione d'onda.

Ora, prima di tutto, perché è valutato il complesso della funzione d'onda? La prima ragione può essere trovata nell'idea di interferenza. La funzione d'onda di una particella può interferire con se stessa. Questa interferenza ha a che fare con l'aggiunta di funzioni d'onda, se le funzioni d'onda danno lo stesso valore assoluto ad un certo punto, allora la probabilità di misurare una particella attorno a quel punto è simile. Tuttavia i valori delle funzioni possono essere diversi, se sono uguali, aggiungendoli farà l'ampiezza, o la densità di probabilità 4 (#|2|^2#) volte più grande (interferenza costruttiva) e se differiscono per un segno si annullano a vicenda (interferenza distruttiva). Tuttavia, la differenza può anche essere dovuta ad esempio a un fattore #io#, significa che la densità di probabilità diventa #2# volte più grande in quel punto. Sappiamo che tutte queste interferenze possono verificarsi. Quindi questo punta a una funzione d'onda di valore complesso come descritto in precedenza.

La seconda ragione può essere trovata nell'equazione di Schrödinger. Inizialmente si pensava che queste funzioni d'onda si comportassero proprio come le onde classiche. Tuttavia, quando Schrödinger cercò di descrivere il comportamento di queste onde, o almeno la loro evoluzione nel tempo, scoprì che l'equazione che governa le onde classiche non era adeguata. Per poter funzionare, ha dovuto introdurre un numero complesso nell'equazione, portando alla conclusione che anche la funzione stessa deve essere complessa, e l'ordine delle derivate che appaiono nell'equazione differisce dall'equazione delle onde classiche.

Questa differenza nelle equazioni risponde anche alla tua seconda domanda. Poiché l'evoluzione della funzione d'onda è molto diversa da quella delle onde classiche, non possiamo usare gli stessi metodi che usiamo nella fisica delle onde classiche. Ci sono naturalmente argomenti geometrici che puoi usare, ma non sarà sufficiente per descrivere tutti i fenomeni della fisica quantistica. Inoltre, anche se la funzione d'onda fornisce molte informazioni sullo stato di una particella, non ti dice nulla sulla sua rotazione, dato che gli effetti osservabili e la posizione hanno poco a che fare l'uno con l'altro.

Forse sto interpretando in modo errato ciò che intendi per natura geometrica. Potresti forse dare un esempio di cosa intendi. Forse allora potrei aiutarti ulteriormente.

Il Funzione d'onda rappresenta lo stato di un sistema di meccanica quantistica come un atomo o una molecola.

Può essere rappresentato come entrambi # # Psi, il indipendente dal tempo funzione d'onda, o # # Psi, il dipendente dal tempo Funzione d'onda.

Perché il onda la funzione rappresenta evidentemente un sistema che si comporta come a onda (non è un caso che si chiami il onda funzione!), normalmente ci aspetteremmo un illimitato funzione d'onda per non avere confini. Considera il fatto che # # Sinx e # # Cosx, due funzioni che sono chiaramente onde, hanno domini di # (- oo, oo) #.

ESEMPIO: L'ONDA FUNZIONE PER ORBITALI

Tuttavia, prendiamo gli orbitali per esempio. Ci deve essere un insieme di condizioni al contorno per un orbitale, perché ovviamente gli orbitali non sono infinitamente grandi.

Una funzione d'onda può rappresentare il combinazione lineare di orbitali atomici formare orbitali molecolari:

#color (blu) (psi _ ("MO")) = sum_ (i) c_iphi_i ^ "AO" #

# = colore (blu) (c_1phi_ (1s) + c_2phi_ (2s) + c_3phi_ (2px) + c_4phi_ (2py) + c_5phi_ (2pz) +…) #

dove # # C_I è il coefficiente di espansione indicando il contributo di ciascun orbitale atomico al particolare orbitale molecolare in questione, e # Phi_i ^ "AO" # è il funzione d'onda sperimentale / sperimentale per ogni orbitale atomico.

Poiché una funzione d'onda deve essere in grado di rappresentare un orbitale, deve avere un raggio positivo (#r> 0 #) e la funzione d'onda deve essere singolo -valued, chiuso , continuo , ortogonale a tutte le funzioni relative alle onde e normalizzabili .

In altre parole, deve superare il test della linea verticale, avere un'area finita sotto la curva, non avere salti / discontinuità / asintoti / interruzioni e soddisfare le seguenti due equazioni:

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Bd tau = 0 #

(l'integrale di una funzione d'onda e il suo complesso coniugato è #0# se le funzioni d'onda sono diverse)

#int_ "allspace" psi_A ^ "*" psi_Ad tau = 1 #

(L'integrale di una funzione d'onda e il suo complesso coniugato è normalizzato in modo tale che sia uguale #1# se le funzioni d'onda sono le stesse oltre al segno di # # Pmi)

Un'equazione di esempio per la funzione d'onda in coordinate sferiche per l'atomo di idrogeno è:

#color (blue) (psi_ (2pz) (r, theta, phi)) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = colore (blu) (1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ ("3/2") ((Zr) / (a_0)) e ^ (- Zr // 2a_0) costheta) #

Per pensare, ho effettivamente passato del tempo per normalizzarlo. Ho anche preso il tempo per verificare l'ortogonalità con gli altri due # # 2p funzioni d'onda.: P

Nel caso, ecco un'appendice di ciò che ho linkato sopra in Scratchpads.

#' '#

Normalizzazione del

Il # # 2p_z la funzione d'onda orbitale atomica è:

#psi_ (2pz) #

# = R_ (nl) (r) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) = R_ (21) (r) Y_ (1) ^ (0) (theta, phi) #

# = 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (3/2) (Zr) / (a_0) e ^ (- (Zr) / (2a_0)) costheta #

(McQuarrie)

È il # # 2p_z Funzione d'onda veramente normalizzata? SCOPRIAMOLO!

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl) ^ "*" (r) R_ (nl) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta, phi) sintheta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1) #

# 1 / sqrt (32pi) (Z / (a_0)) ^ (5/2) ^ 2 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta int_ (0) ^ (2pi) dphi stackrel (?) (=) 1 #

#color (verde) (1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr stackrel (= "2/3") (overbrace (int_ (0) ^ (pi) sinthetacos ^ 2thetad theta)) stackrel (= 2pi) (overbrace (int_ (0) ^ (2pi) dphi)) stackrel (?) (=) 1) #

Ora, esaminando solo la parte radiale, che è la parte pazzesca … avvia la quadruplica Integrazione per Parti!

VALUTAZIONE DELLA COMPONENTE RADIALE DELLA FUNZIONE WAVE

Parte 1

#int_ (0) ^ (oo) e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4dr #

Permettere:

#u = r ^ 4 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3dr} #

Parte 2

Permettere:

#u = r ^ 3 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 3r ^ 2dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3int e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2dr} #

Parte 3

Permettere:

#u = r ^ 2 #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = 2rdr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 - 3 - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2int e ^ (- (Zr) / (a_0)) rdr} #

Parte 4

Permettere:

#u = r #

#dv = e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr #

#v = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) #

#du = dr #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 2 {- (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

# = - (a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 + (4a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r - int e ^ (- (Zr) / (a_0)) dr}} #

ESPANSIONE / SEMPLIFICAZIONE

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - 4 ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 3 + (3a_0) / Z e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 + (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3 e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - (2a_0) / Z {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - 12 ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 2 - 24 ((a_0) / Z) ^ 4 {e ^ (- (Zr) / (a_0)) r + (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0))} #

# = - (a_0) / Ze ^ (- (Zr) / (a_0)) r ^ 4 - ((a_0) / Z) ^ 2 e ^ (- (Zr) / (a_0)) 4r ^ 3 - ((a_0) / Z) ^ 3e ^ (- (Zr) / (a_0)) 12r ^ 2 - ((a_0) / Z) ^ 4e ^ (- (Zr) / (a_0)) 24r - 24 ((a_0) / Z) ^ 5 e ^ (- (Zr) / (a_0)) #

SCHEDA VALUTAZIONE-PRONTA

# = | -e ^ (- (Zr) / (a_0)) (a_0) / Z r ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 r ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 r ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 r + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 | _ (0) ^ (oo) #

Il primo semestre si cancella essere #0#:

# = cancel ({- e ^ (- (Zoo) / (a_0)) (a_0) / Z oo ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 oo ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 oo ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 oo + 24 ((a_0) / Z) ^ 5}) ^ (0) - {-e ^ (- (Z (0)) / (a_0)) (a_0) / Z (0) ^ 4 + 4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3 + 12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2 + 24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5} #

La seconda metà si semplifica essere # 1 * (0 + 0 + 0 + 0 + 24 ((a_0) / (Z)) ^ 5) #:

# = cancel (e ^ (- (Z (0)) / (a_0))) ^ (1) cancel ((a_0) / Z (0) ^ 4) ^ (0) + cancella (4 ((a_0) / Z) ^ 2 (0) ^ 3) ^ (0) + cancella (12 ((a_0) / Z) ^ 3 (0) ^ 2) ^ (0) + cancella (24 ((a_0) / Z) ^ 4 (0)) ^ (0) + 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #

# = 24 (a_0 / Z) ^ 5 #

Ora, esaminiamo la funzione d'onda nel suo insieme …

#psi_ (2pz) #

# = 1 / (32pi) (Z / a_0) ^ 5 (24 (a_0 / Z) ^ 5) (2/3) (2pi) stackrel (?) (=) 1 #

# = 1 / (cancel (32) cancel (pi)) cancel ((Z / a_0) ^ 5) (cancel (16) cancel ((a_0 / Z) ^ 5)) (cancel (2) cancel (pi)) stackrel (?) (=) 1 #

#color (blu) (1 = 1) #

SÌ! UNO PARI UNO! Intendo…

La funzione d'onda è effettivamente normalizzata!: D

Dimostrazione dell'ortogonalità reciproca per le funzioni d'onda 2p

Cerchiamo di scegliere le seguenti funzioni d'onda:

#psi_ (2px) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetacosphi #

#psi_ (2py) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) sinthetasinphi #

#psi_ (2pz) = 1 / (sqrt (32pi)) (Z / (a_0)) ^ "3/2" (Zr) / (a_0) e ^ (- "Zr /" 2a_0) costheta #

Per mostrare che sono ortogonali, dobbiamo mostrare almeno uno di loro:

#int _ ("tutto lo spazio") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

E dall'induzione possiamo dire il resto poiché i componenti radiali sono identici. In altre parole:

# mathbf (int_ (0) ^ (oo) R_ (nl, 2px) ^ "*" (r) R_ (nl, 2pz) (r) r ^ 2dr int_ (0) ^ (pi) Y_ (l) ^ (m) (theta) sintheta int_ (0) ^ (2pi) Y_ (l) ^ (m) (phi) dphi stackrel (?) (=) 0) #

#color (green) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

La parte radiale risulta essere # 24 ((a_0) / Z) ^ 5 #. Quindi, valutiamo le porzioni angolari.

Il # # Theta porzione:

#color (verde) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

Permettere:

#u = sintheta #

#du = theta # costhetad

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = colore (verde) (0) #

E ora il # # Phi porzione:

#color (verde) (int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = | sinphi | _ (0) ^ (2pi) #

# = sin (2pi) - sin (0) #

Permettere:

#u = sintheta #

#du = theta # costhetad

# = int_ (0) ^ (pi) u ^ 2du #

# = 0 - 0 = colore (verde) (0) #

Pertanto, abbiamo nel complesso:

#color (blue) (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 int_ (0) ^ (oo) e ^ (- "Zr /" a_0) r ^ 4dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) cosphidphi) #

# = cancel (1 / (32pi) (Z / (a_0)) ^ 5 (24) ((a_0) / Z) ^ 5 (0) (0)) ^ (0) #

# = colore (blu) (0) #

Da

#int _ ("tutto lo spazio") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2pz) d tau = 0 #

il # # 2p_z e # # 2p_x gli orbitali atomici sono ortogonali.

Davvero, la principale differenza con l'utilizzo del # # 2p_y equazione è che invece ottieni:

#color (green) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Stesse cose" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 3thetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi stackrel (?) (=) 0) #

E così:

#color (blue) (int_ (0) ^ (2pi) sinphicosphidphi) #

# = 1/2 | sin ^ 2phi | _ (0) ^ (2pi) #

# = 1/2 sin ^ 2 (2pi) - sin ^ 2 (0) = colore (blu) (0) #

Da moltiplicare #0# dagli altri integrali, quindi l'intero integrale scompare e:

#int _ ("tutto lo spazio") psi_ (2px) ^ "*" psi_ (2py) d tau = 0 #

quindi, il # # 2p_x e # # 2p_y gli orbitali atomici sono ortogonali.

Infine, per il # # 2p_y contro il # # 2p_z:

#color (green) ("Constants" int_ (0) ^ (oo) "Stesse cose" dr int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta int_ (0) ^ (2pi) sinphidphi stackrel (?) (=) 0) #

Noi conosciamo il # # Theta integrale di prima:

#color (blue) (int_ (0) ^ (pi) sin ^ 2thetacosthetad theta) #

# = 1/3 * | sin ^ 3theta | _ (0) ^ (pi) #

# = 1/3 * sin ^ 3 (pi) - sin ^ 3 (0) #

# = 1/3 * 0 - 0 = colore (blu) (0) #

E così l'intero integrale scompare di nuovo, e in effetti il # # 2p_y e # # 2p_z anche gli orbitali sono ortogonali!