Sia f (x) = x-1. 1) Verifica che f (x) non sia né pari né dispari. 2) Can f (x) può essere scritto come somma di una funzione pari e di una funzione dispari? a) Se è così, mostra una soluzione. Ci sono più soluzioni? b) In caso contrario, dimostrare che è impossibile.

Permettere #f (x) = | x -1 | #.

Se f fosse pari, allora #f (-x) # sarebbe uguale #f (x) # per tutti x.

Se f fosse dispari, allora #f (-x) # sarebbe uguale # -F (x) # per tutti x.

Osserva che per x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Poiché 0 non è uguale a 2 o a -2, f non è né pari né dispari.

Potrebbe essere scritto come #g (x) + h (x) #, dove g è pari eh è dispari?

Se fosse vero allora #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Chiama questa affermazione 1.

Sostituisci x di -x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Poiché g è pari eh è dispari, abbiamo:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Chiama questa affermazione 2.

Mettendo insieme le dichiarazioni 1 e 2, lo vediamo

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

AGGIUNGERE QUESTI per ottenere

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Questo è davvero pari, da allora #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Dalla dichiarazione 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Questo è davvero strano, da allora

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.