Come potrei dimostrarlo? Userebbe un teorema dall'analisi reale?

# "Usa la definizione di derivata:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Qui abbiamo" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Dobbiamo dimostrare che" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"o"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"o"#

#h '(x_0) = 0 #

# "con" h (x) = f (x) - g (x) #

#"o"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"o"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(a causa di" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Adesso"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "se" h> 0 "e" lim> = 0 "se" h <0 #

# "Abbiamo ipotizzato che f e g siano differenziabili" #

# "così" h (x) = f (x) - g (x) "è anche differenziabile," #

# "quindi il limite sinistro deve essere uguale al limite destro, quindi" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Risposta:

Fornirò una soluzione più rapida di quella in http://socratic.org/s/aQZyW77G. Per questo dovremo fare affidamento su alcuni risultati familiari del calcolo.

Spiegazione:

Definire #h (x) = f (x) -g (x) #

Da #f (x) le g (x) #, noi abbiamo #h (x) le 0 #

A # X = x_0 #, noi abbiamo #f (x_0) = g (x_0) #, così che #h (x_0) = 0 #

così # X = x_0 # è il massimo della funzione differenziabile #h (x) # dentro l'intervallo aperto # (A, b) #. così

#h ^ '(x_0) = 0 implica #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) implica #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #