Un accordo con una lunghezza di 12 va da pi / 12 a pi / 6 radianti su un cerchio. Qual è l'area del cerchio?

Risposta:

L'area di un cerchio è

#S = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Spiegazione:

L'immagine sopra riflette le condizioni impostate nel problema. Tutti gli angoli (ingranditi per una migliore comprensione) sono in radianti contando dall'asse X orizzontale #BUE# Antiorario.

# AB = 12 #

# / _ XOA = pi / 12 #

# / _ XOB = pi / 6 #

# OA = OB = r #

Dobbiamo trovare un raggio di un cerchio per determinare la sua area.

Conosciamo quell'accordo # # AB ha lunghezza #12# e un angolo tra i raggi # # OA e # # OB (dove # O # è un centro di un cerchio) è

#alpha = / _ AOB = pi / 6 - pi / 12 = pi / 12 #

Costruisci un'altitudine #OH# di un triangolo #Delta AOB # dal vertice # O # al lato # # AB. Da #Delta AOB # è isoscele, #OH# è una bisettrice mediana e un angolo:

# AH = HB = (AB) / 2 = 6 #

# / _ AOH = / _ = BOH (/ _ AOB) / 2 = pi / 24 #

Considera un triangolo rettangolo #Delta AOH #.

Conosciamo quel cateto # AH = 6 # e angolo # / _ AOH = pi / 24 #.

Pertanto, ipotenusa # # OA, che è un raggio del nostro cerchio # R #, è uguale a

# R = OA = (AH) / sin (/ _ AOH) = 6 / sin (pi / 24) #

Conoscendo il raggio, possiamo trovare un'area:

#S = pi * r ^ 2 = (36pi) / sin ^ 2 (pi / 24) #

Esprimiamo questo senza funzioni trigonometriche.

Da

# sin ^ 2 (phi) = (1-cos (2phi)) / 2 #

possiamo esprimere l'area come segue:

#S = (72pi) / (1-cos (pi / 12)) #

Un'altra identità trigonometrica:

# cos ^ 2 (phi) = (1 + cos (2phi)) / 2 #

#cos (phi) = sqrt (1 + cos (2phi)) / 2 #

Perciò,

#cos (pi / 12) = sqrt (1 + cos (pi / 6)) / 2 = #

# = sqrt (1 + sqrt (3) / 2) / 2 = sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4) #

Ora possiamo rappresentare l'area di un cerchio come

#S = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt (3)) / 4)) #

Risposta:

Un altro approccio è lo stesso risultato

Spiegazione:

La corda AB di lunghezza 12 nella figura sopra cade da# Pi / 12 # a # Pi / 6 # nel cerchio del raggio r e centro O, preso come origine.

# / _ AOX = pi / 12 # e # / _ BOX = pi / 6 #

Quindi coordinate polari di A # = (R, pi / 12) # e quello di B # = (R, pi / 6) #

Applicazione della formula della distanza per la coordinata polare

la lunghezza della corda AB,# 12 = sqrt (r ^ 2 + r ^ 2-2 * R ^ 2 * cos (/ _ BOX - / _ AOX) #

# => 12 ^ 2 = r ^ 2 + r ^ 2-2 * r ^ 2 * cos (pi / 6-pi / 12) #

# => 144 = 2r ^ 2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 144 / (2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = cancel144 ^ 72 / (cancel2 (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-cos (pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (2 * pi / 12)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + cos (pi / 6)) #

# => R ^ 2 = 72 / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

Quindi area del cerchio

# = Pi * r ^ 2 #

# = (72pi) / (1-sqrt (1/2 (1 + sqrt3 / 2) #

# = (72pi) / (1-sqrt ((2 + sqrt3) / 4) #