Due corde parallele di un cerchio con lunghezze di 8 e 10 servono come basi di un trapezio inscritto nel cerchio. Se la lunghezza di un raggio del cerchio è 12, qual è l'area più grande possibile di tale trapezio inscritto descritto?

Risposta:

# 72 * sqrt (2) + 9 * sqrt (119) ~ = 200,002 #

Spiegazione:

Considera le Fig. 1 e 2

Schematicamente, potremmo inserire un parallelogramma ABCD in un cerchio, e a condizione che i lati AB e CD siano accordi dei cerchi, nel modo di figura 1 o figura 2.

La condizione che i lati AB e CD devono essere gli accordi del cerchio implica che il trapezio inscritto deve essere isoscele perché

• le diagonali del trapezio (#CORRENTE ALTERNATA# e #CD#) sono uguali perché
• # Un cappello B D = B cappello A C = B cappello C = Un cappello C D #

  e la linea perpendicolare a # # AB e #CD# passando per il centro E biseca questi accordi (questo significa che # AF = BF # e # CG = DG # e i triangoli formati dall'intersezione delle diagonali con le basi in # # AB e #CD# sono isoscele).

Ma poiché l'area del trapezio è

# S = (q_1 + q_2) / 2 * h #, dove # # Q_1 sta per base-1, # # Q_2 per base-2 e # H # per altezza, e # # Q_1 è parallelo a # # Q_2

E dal momento che il fattore # (Q_1 + q_2) / 2 # è uguale nelle ipotesi delle figure 1 e 2, ciò che importa è in cui l'ipotesi del trapezio ha un'altezza maggiore (# H #). Nel caso presente, con accordi più piccoli del raggio del cerchio, non c'è dubbio che nell'ipotesi della figura 2 il trapezio ha un'altezza maggiore e quindi ha un'area più alta.

Secondo la figura 2, con # AB = 8 #, # CD = 10 # e # R = 12 #

#triangle_ (BEF) -> cos alpha = ((AB) / 2) / r = (8/2) / 12 = 4/3 = 1/3 #

# -> sin alpha = sqrt (1-1 / 9) = sqrt (8) / 3 = 2sqrt (2) / 3 #

# -> tan alpha = (sin alpha) / cos alpha = (2sqrt (2) / cancel (3)) / (1 / cancel (3)) = 2sqrt (2) #

#tan alpha = x / ((AB) / 2) # => # X = 8 / annullare (2) * annullare (2) sqrt (2) # => # X = 8sqrt (2) #

#triangle_ (ECG) -> cos beta = ((CD) / 2) / r = (10/2) / 12 = 5/12 #

# -> sin beta = sqrt (1-25 / 144) = sqrt (119) / 12 #

# -> tan beta = (sin beta) / cos beta = (sqrt (119)) / cancel (12)) / (5 / cancel (12)) = sqrt (119) / 5 #

#tan beta = y / ((CD) / 2) # => # Y = 10/2 * sqrt (119) / 5 # => # Y = sqrt (119) #

Poi

# H = x + y #

# H = 8sqrt (2) + sqrt (119) #

# S = (q_1 + q_2) / 2 * h = (8 + 10) / 2 (8sqrt (2) + sqrt (119)) = 72sqrt (2) + 9sqrt (119) ~ = 200,002 #