Qual è il valore minimo di g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? nell'intervallo [-2,2]?

Risposta:

Il valore minimo è a # x = 1-sqrt 5 circa "-" 1.236 #;

#g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #.

Spiegazione:

A intervalli chiusi, le possibili posizioni per un minimo saranno:

• un minimo locale all'interno dell'intervallo, o
• i punti finali dell'intervallo.

Pertanto calcoliamo e confrontiamo i valori per #G (x) # a qualsiasi #x in "-2", 2 # quello fa #G '(x) = 0 #, così come a #x = "- 2" # e # X = 2 #.

Primo: cos'è #G '(x) #? Utilizzando la regola del quoziente, otteniamo:

#G '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (bianco) (g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x ^ 2 + 2x) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

#color (bianco) (g '(x)) = - (x ^ 2-2x-4) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 #

Questo sarà uguale a zero quando il numeratore è zero. Dalla formula quadratica, otteniamo

# x ^ 2-2x-4 = 0 "" => "" x = 1 + -sqrt 5 approx {"-1.236", 3.236} #

Solo uno di questi #X#-valori è in #'-2',2#, e questo è # x = 1-sqrt 5 #.

Ora, calcoliamo:

1. #g ("- 2") = ("-" 2-1) / (("- 2") ^ 2 + 4) = "- 3" / 8 = "-" 0,375 #

2. #g (1 - sqrt 5) = (1 - sqrt 5 -1) / ((1 - sqrt 5) ^ 2 + 4) = ("-" sqrt 5) / (1-2 sqrt 5 + 5 + 4) #

#color (bianco) (g (1 - sqrt 5)) = - (sqrt 5) / (10-2sqrt 5) = - (sqrt 5) / ((2) (5-sqrt5)) * colore (blu) ((5 + sqrt 5) / (5+ sqrt 5)) #

#color (bianco) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 + 5 sqrt 5) / (2 * (25-5) #

#color (bianco) (g (1 - sqrt 5)) = - (5 (1 + sqrt5)) / (40) = - (1 + sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405 #

3. #g (2) = (2-1) / (2 ^ 2 + 4) = 1/8 = 0.125 #

Confrontando questi tre valori di #G (x) #, Lo vediamo #g (1-sqrt 5) # è il più piccolo. Così # - (1+ sqrt 5) / 8 # è il nostro valore minimo per #G (x) # sopra #'-'2, 2#.