Qual è il valore minimo di g (x) = x / csc (pi * x) nell'intervallo [0,1]?

Risposta:

C'è un valore minimo di #0# situato entrambi a # X = 0 # e # X = 1 #.

Spiegazione:

Innanzitutto, possiamo immediatamente scrivere questa funzione come

#G (x) = x / (1 / sin (pix)) = xsin (pix) #

Ricordando quello #csc (x) = 1 / sin (x) #.

Ora, per trovare i valori minimi su un intervallo, riconoscere che potrebbero verificarsi sui punti finali dell'intervallo o su qualsiasi valore critico che si verifica nell'intervallo.

Per trovare i valori critici nell'intervallo, impostare la derivata della funzione su #0#.

E, per differenziare la funzione, dovremo usare il regola del prodotto. L'applicazione della regola del prodotto ci dà

#G '(x) = sin (pix) d / dx (x) + xd / dx (sin (pix)) #

Ciascuno di questi derivati dà:

# D / dx (x) = 1 #

E, attraverso il regola di derivazione:

# D / dx (sin (pix)) = cos (pix) * underbrace (d / dx (pix)) _ (= pi) = picos (pix) #

Combinando questi, lo vediamo

#G '(x) = sin (pix) + pixcos (pix) #

Pertanto, i valori critici si verificano ogni volta

#sin (pix) + pixcos (pix) = 0 #

Non possiamo risolverlo algebricamente, quindi usa un calcolatore per trovare tutti gli zeri di questa funzione nell'intervallo dato #0,1#:

graph {sin (pix) + pixcos (pix) -.1, 1.1, -3, 2.02}

I due valori critici nell'intervallo sono a # X = 0 # e # # Xapprox0.6485.

Quindi, sappiamo che il valore minimo di #G (x) # potrebbe accadere a #3# luoghi differenti:

# X = 0 # o # X = 1 #, i punti finali dell'intervallo
# X = 0 # o # X = 0,6485 #, i valori critici nell'intervallo

Ora, inserisci ciascuno di questi valori possibili nell'intervallo:

# {(G (0) = 0, colore (rosso) del testo (minimo)), (g (0,6485) = 0,5792, il colore (blu) di testo (massimo)), (g (1) = 0, colore (rosso) di testo (minimo)):} #

Dato che ci sono due valori ugualmente bassi, ci sono dei minimi entrambi a # X = 0 # e # X = 1 #. Si noti che anche se abbiamo trovato il problema di # X = 0,6485 #, non era nemmeno un minimo.

Grafico è #G (x) # nell'intervallo #0,1#:

graph {x / csc (pix) -.05, 1.01, -.1,.7}

Inoltre, si noti che il valore minimo è #0#, da #G (0) = g (1) = 0 #. La distinzione è quella # X = 0 # e # X = 1 # sono le posizioni dei minimi.

I delfini emettono suoni nell'aria e nell'acqua. Qual è il rapporto tra la lunghezza d'onda del loro suono nell'aria e la sua lunghezza d'onda nell'acqua? Il suono della velocità in aria è di 343 m / se in acqua è di 1540 m / s.

Quando un'onda cambia medium, la sua frequenza non cambia in quanto la frequenza dipende dalla sorgente e non dalle proprietà del media. Ora, conosciamo la relazione tra lunghezza d'onda lambda, velocità v e frequenza nu di un'onda come, v = nulambda Or, nu = v / lambda Oppure, v / lambda = costante Quindi, lascia che la velocità del suono nell'aria sia v_1 con lunghezza d'onda lambda_1 e quella di v_2 e lambda_2 in acqua, Quindi, possiamo scrivere, lambda_1 / lambda_2 = v_1 / v_2 = 343 / 1540 = 0,23

Qual è il valore minimo di g (x) = (x-1) / (x ^ 2 + 4)? nell'intervallo [-2,2]?

Il valore minimo è x = 1-sqrt 5 circa "-" 1.236; g (1 - sqrt 5) = - (1+ sqrt 5) / (8) approx "-" 0.405. A intervalli chiusi, le possibili posizioni per un minimo saranno: un minimo locale all'interno dell'intervallo o i punti finali dell'intervallo. Quindi calcoliamo e confrontiamo i valori per g (x) a qualsiasi x in ["-2", 2] che rende g '(x) = 0, così come x = "- 2" e x = 2. Primo: cos'è g '(x)? Usando la regola del quoziente, otteniamo: g '(x) = ((1) (x ^ 2 + 4) - (x-1) (2x)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 colore (bianco) ( g '(x)) = (x ^ 2 + 4-2x

Qual è il valore minimo di g (x) = x ^ 2-2x - 11 / x? nell'intervallo [1,7]?

La funzione aumenta continuamente nell'intervallo [1,7], il suo valore minimo è x = 1. È ovvio che x ^ 2-2x-11 / x non è definito in x = 0, tuttavia è definito nell'intervallo [1,7]. Ora la derivata di x ^ 2-2x-11 / x è 2x-2 - (- 11 / x ^ 2) o 2x-2 + 11 / x ^ 2 ed è positiva per tutto [1,7] Quindi, la funzione è in continuo aumento nell'intervallo [1,7] e tale valore minimo di x ^ 2-2x-11 / x nell'intervallo [1,7] è x = 1. graph {x ^ 2-2x-11 / x [-40, 40, -20, 20]}