Cos'è phi, come è stato scoperto e sono i suoi usi?

Risposta:

Alcuni pensieri …

Spiegazione:

#phi = 1/2 + sqrt (5) / 2 ~~ 1.6180339887 # è conosciuto come il Golden Ratio.

Era noto e studiato da Euclide (circa 3 ° o 4 ° secolo AC), fondamentalmente per molte proprietà geometriche …

Ha molte proprietà interessanti, di cui qui ce ne sono alcune …

La sequenza di Fibonacci può essere definita in modo ricorsivo come:

# F_0 = 0 #

# F_1 = 1 #

#F_ (n + 2) = F_n + F_ (n + 1) #

Inizia:

#0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,…#

Il rapporto tra termini successivi tende a # # Phi. Questo è:

#lim_ (n-> oo) F_ (n + 1) / F_n = phi #

In realtà il termine generale della sequenza di Fibonacci è dato dalla formula:

#F_n = (phi ^ n - (-phi) ^ (- n)) / sqrt (5) #

Un rettangolo con i lati in rapporto #phi: 1 # si chiama Golden Rectangle. Se un quadrato di dimensioni massime viene rimosso da un'estremità di un rettangolo dorato, il rettangolo rimanente è un rettangolo dorato.

Questo è legato sia al rapporto di limitazione della sequenza di Fibonacci sia al fatto che:

#phi = 1; bar (1) = 1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + 1 / (1 + …)))))) #

che è la frazione continua standard più lentamente convergente.

Se posizioni tre rettangoli dorati simmetricamente perpendicolari l'uno all'altro nello spazio tridimensionale, i dodici angoli formano i vertici di un icosaedro regolare. Quindi possiamo calcolare l'area superficiale e il volume di un icosaedro regolare di un dato raggio. Vedi

Un triangolo isoscele con lati in proporzione #phi: phi: 1 # ha angoli base # (2pi) / 5 # e l'angolo dell'apice # Pi / 5 #. Questo ci permette di calcolare esatte formule algebriche per #sin (pi / 10) #, #cos (pi / 10) # e in definitiva per qualsiasi multiplo di # Pi / 60 # (#3^@#). Vedi