Il numero di batteri in una coltura è cresciuto da 275 a 1135 in tre ore. Come trovi il numero di batteri dopo 7 ore?

Risposta:

#7381#

Spiegazione:

I batteri subiscono una riproduzione asessuata ad un tasso esponenziale. Modelliamo questo comportamento usando la funzione di crescita esponenziale.

#colore (bianco) (aaaaaaaaaaaaaaaaaa) colore (blu) (y (t) = A_ (o) * e ^ (kt) #

Dove

# "y (" t ") = valore alla volta (" t ")" #
#A _ ("o") = "valore originale" #
# "e = Euler's numero 2.718" #
# "k = tasso di crescita" #
# "t = tempo trascorso" #

Ti hanno detto che da lì è cresciuta una coltura di batteri #color (rosso) 275 # a #color (rosso) 1135 # nel #color (rosso) "3 ore" #. Questo dovrebbe automaticamente dirti che:

#color (blu) A _ ("o") # = #color (rosso) 275 #
#color (blu) "y" ("t") # = #color (rosso) "1135" #, e
#color (blu) "t" # = #color (rosso) "3 ore" #

Inseriamo tutto questo nella nostra funzione.

#colore (bianco) (aaaaaaaaaa) colore (blu) (y (t) = A_ (o) * e ^ (kt)) -> colore (rosso) 1135 = (colore (rosso) 275) * e ^ (k * colore (rosso) 3) #

Possiamo lavorare con ciò che abbiamo sopra perché conosciamo ogni valore tranne che per il # "tasso di crescita", colore (blu) k "#, per il quale risolveremo.

#colore bianco)(--)#

#ul "Risoluzione per k" #

#color (rosso) 1135 = (colore (rosso) 275) * e ^ (k * colore (rosso) 3) #
#stackrel "4.13" cancel ((1135)) / ((275)) = cancel (275) / (275) e ^ (k * 3) #
# 4.13 = e ^ (k * 3) #
#color (bianco) (a) _ (ln) 4.13 = colore (bianco) (a) _cancel (ln) (cancele ^ (k * 3)) #
# 1.42 = k * 3 #
#stackrel "0.47" cancel ((1.42)) / ((3)) = k * cancel (3) / (3) #
# 0,47 = k #

Perché abbiamo capito tutto questo? Non è stata la domanda a chiedere di risolvere il numero di batteri dopo # "tempo = 7 ore" # e non per #color (blu) k, "il tasso di crescita" #?

La semplice risposta è che dovevamo capire il #"tasso di crescita"# in modo che da lì possiamo calcolare il valore alla volta #(7)# impostando una nuova funzione dal momento che avremo solo 1 a sinistra sconosciuta da risolvere.

#colore bianco)(--)#

#ul "Risoluzione per numero di batteri dopo 7 ore" #

#color (blu) (y (t) = A_ (o) * e ^ (kt)) -> y = (275) * e ^ (0.47 * 7) #

#y = (275) * e ^ (3.29) #

#y = (275) * (26,84) #

#y = 7381 #

Quindi, la colonia batterica crescerà #7381# in numero dopo #"7 ore"#

Il conteggio in una coltura di batteri era 700 dopo 20 minuti e 1000 dopo 40 minuti. Qual era la dimensione iniziale della cultura?

490 microrganismi. Assumerò una crescita esponenziale per i batteri. Ciò significa che possiamo modellare la crescita con una funzione esponenziale: f (t) = A_0e ^ (kt) dove k è la costante di crescita e A_0 è la quantità iniziale di batteri. Sub i due valori noti nella funzione per ottenere due equazioni: 700 = A_0e ^ (20k) (1) 1000 = A_0e ^ 40k (2) Divide (2) per (1) per trovare k: 1000/700 = (cancella ( A_0) e ^ (40k)) / (cancel (A_0) e ^ (20k)) 10/7 = e ^ (40k-20k) = e ^ (20k) Prendi il log naturale di entrambi i lati per isolare k: ln ( 10/7) = cancel (ln) cancel (e) ^ (20k) ln (10/7) = 20k k

La popolazione iniziale è di 250 batteri e la popolazione dopo 9 ore è il doppio della popolazione dopo 1 ora. Quanti batteri ci saranno dopo 5 ore?

Supponendo una crescita esponenziale uniforme, la popolazione raddoppia ogni 8 ore. Possiamo scrivere la formula per la popolazione come p (t) = 250 * 2 ^ (t / 8) dove t è misurato in ore. 5 ore dopo il punto di partenza, la popolazione sarà p (5) = 250 * 2 ^ (5/8) ~ = 386

Il numero di batteri in una coltura è cresciuto da 275 a 1135 in tre ore. Come trovi il numero di batteri dopo 7 ore e Usa il modello di crescita esponenziale: A = A_0e ^ (rt)?

~~ 7514 A = A_0e ^ (rt) t in ore. A_0 = 275. A (3) = 1135. 1135 = 275e ^ (3r) 1135/275 = e ^ (3r) Prendi registri naturali di entrambi i lati: ln (1135/275) = 3r r = 1 / 3ln (1135 / 275) hr ^ (- 1) A (t) = A_0e ^ (1 / 3ln (1135/275) t) Suppongo che sia solo dopo 7 ore, non 7 ore dopo l'iniziale 3. A (7) = 275 * e ^ (7 / 3ln (1135/275)) ~~ 7514