Come risolvo questa equazione?

Risposta:

# "Vedi spiegazione" #

Spiegazione:

# "Prima applica il teorema delle radici razionali per trovare le radici razionali." #

# "Troviamo" x = 1 "come root razionale." #

# "Quindi" (x-1) "è un fattore. Dividiamo quel fattore di distanza:" #

# 3 x ^ 4 - 5 x ^ 3 + 2 = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

# "Abbiamo una restante equazione cubica che non ha radici razionali." #

# "Possiamo risolverlo con la sostituzione del metodo Vieta." #

# x ^ 3 - (2/3) x ^ 2 - (2/3) x - 2/3 = 0 #

# "Sostituisci" x = y + 2/9 ". Quindi otteniamo" #

# y ^ 3 - (22/27) y - (610/729) = 0 #

# "Sostituisci" y = (sqrt (22) / 9) z ". Quindi otteniamo" #

# z ^ 3 - 3 z - 5.91147441 = 0 #

# "Sostituisci" z = t + 1 / t ". Quindi otteniamo" #

# t ^ 3 + 1 / t ^ 3 - 5.91147441 = 0 #

# "Sostituendo" u = t ^ 3 ", produce l'equazione quadratica:" #

# u ^ 2 - 5.91147441 u + 1 = 0 #

# "Una radice di questa equazione quadratica è u = 5.73717252." #

# "Sostituendo le variabili, restituisce:" #

#t = root (3) (u) = 1.79019073 #

#z = 2.34879043. #

#y = 1.22408929. #

# x = 1,44631151. #

# "Le altre radici sono complesse:" #

# -0.38982242 pm 0.55586071 i. #

# "(Possono essere trovati dividendo" (x-1.44631151)) #

Risposta:

Lo zero reale razionale è # X = 1 #.

Poi c'è uno zero reale irrazionale:

# x_1 = 1/9 (2 + radice (3) (305 + 27sqrt (113)) + radice (3) (305-27sqrt (113))) #

e relativi zeri complessi non reali.

Spiegazione:

Dato:

# 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 = 0 #

Si noti che la somma dei coefficienti è #0#.

Questo è: #3-5+2 = 0#

Quindi possiamo dedurlo # X = 1 # è uno zero e # (X-1) # un fattore:

# 0 = 3x ^ 4-5x ^ 3 + 2 #

#color (bianco) (0) = (x-1) (3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2) #

Il cubo rimanente è un po 'più complicato …

Dato:

#f (x) = 3x ^ 3-2x ^ 2-2x-2 #

Trasformazione di Tschirnhaus

Per rendere il compito di risolvere il cubico più semplice, rendiamo il cubico più semplice usando una sostituzione lineare nota come trasformazione di Tschirnhaus.

# 0 = 243f (x) = 729x ^ ^ 3-486x 2-486x-486 #

# = (9x-2) ^ 3-66 (9x-2) -610 #

# = T ^ 3-66t-610 #

dove # T = (9x-2) #

Il metodo di Cardano

Vogliamo risolvere:

# T ^ 3-66t-610 = 0 #

Permettere # T = u + v #.

Poi:

# U ^ 3 + v ^ 3 + 3 (UV-22) (u + v) -610 = 0 #

Aggiungi il vincolo # V = 22 / u # eliminare il # (U + v) # termine e ottieni:

# U ^ 3 + 10648 / u ^ 3-610 = 0 #

Moltiplicare attraverso # U ^ 3 # e riorganizzare leggermente per ottenere:

# (U ^ 3) ^ 2-610 (u ^ 3) + 10648 = 0 #

Usa la formula quadratica per trovare:

# U ^ 3 = (610 + -sqrt ((- 610) ^ 2-4 (1) (10648))) / (2 * 1) #

# = (610 + -sqrt (372.100-42.592)) / 2 #

# = (610 + -sqrt (329508)) / 2 #

# = (610 + -54sqrt (113)) / 2 #

# = 305 + -27sqrt (113) #

Poiché questo è Reale e la derivazione è simmetrica # U # e # V #, possiamo usare una di queste radici per # U ^ 3 # e l'altro per # V ^ 3 # per trovare la vera radice:

# T_1 = radice (3) (305 + 27sqrt (113)) + radice (3) (305-27sqrt (113)) #

e relative radici complesse:

# t_2 = radice omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 radice (3) (305-27sqrt (113)) #

# t_3 = omega ^ 2 root (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega root (3) (305-27sqrt (113)) #

dove # Omega = -1 / 2 + sqrt (3) / 2i # è la primitiva radice cubica complessa di #1#.

Adesso # X = 1/9 (2 + t) #. Quindi le radici del nostro cubo originale sono:

# x_1 = 1/9 (2 + radice (3) (305 + 27sqrt (113)) + radice (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_2 = 1/9 (2 + radice omega (3) (305 + 27sqrt (113)) + omega ^ 2 radice (3) (305-27sqrt (113))) #

# x_3 = 1/9 (2 + omega ^ 2 radice (3) (305 + 27sqrt (113)) + radice omega (3) (305-27sqrt (113))) #