Prova che N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) è un intero?

Risposta:

Tenere conto # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Questo ha una vera radice che è #6# anche noto come # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Spiegazione:

Considera l'equazione:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Usando il metodo di Cardano per risolverlo, lascia #t = u + v #

Poi:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Per eliminare il termine in # (U + v) #, aggiungi il vincolo # Uv = 7 #

Poi:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Moltiplicare attraverso # U ^ 3 # e riorganizzare per ottenere il quadratic in # U ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

secondo la formula quadratica, questo ha radici:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (bianco) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (bianco) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (bianco) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Poiché questo è reale e la derivazione era simmetrica # U # e # V #, possiamo usare una di queste radici per # U ^ 3 # e l'altro per # V ^ 3 # dedurre che lo zero reale di # T ^ 3-21t-90 # è:

# t_1 = radice (3) (45 + 29sqrt (2)) + radice (3) (45-29sqrt (2)) #

ma troviamo:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Quindi il vero zero di # T ^ 3-21t-90 # è #6#

Così # 6 = radice (3) (45 + 29sqrt (2)) + radice (3) (45-29sqrt (2)) #

#colore bianco)()#

Nota

Per trovare l'equazione cubica, ho usato il metodo di Cardano all'indietro.

Risposta:

#N = 6 #

Spiegazione:

Fabbricazione #x = 45 + 29 sqrt (2) # e #y = 45-29 sqrt (2) # poi

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3)) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

così

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

o chiamando #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # noi abbiamo

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

con # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # e #z = 6 # è una radice così

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #