La funzione di velocità è v (t) = -t ^ 2 + 3t - 2 per una particella che si muove lungo una linea. Qual è lo spostamento (distanza netta coperta) della particella durante l'intervallo di tempo [-3,6]?

Risposta:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Spiegazione:

L'area sotto una curva di velocità è equivalente alla distanza coperta.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (bianco) ("X") dt #

# = - 1 / 3T ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (blu) ((- 3)) ^ colore (rosso) (6) #

# = (colore (rosso) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (colore (blu) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3))) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Risposta:

La domanda originale è un po 'confusa poiché implica che spostamento e distanza sono la stessa cosa, che non è.

Ho impostato l'integrazione necessaria per ogni caso diverso di seguito.

Spiegazione:

Distanza totale (la quantità scalare che rappresenta la lunghezza effettiva del percorso) è data dalla somma degli integrali parziali

# X = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Spostamento totale (la quantità vettoriale che rappresenta la retta disegnata dall'inizio alla fine del movimento) è data in grandezza dal seguente integrale

# | Vecx | = -int _ (- 3) 1 ^ (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Il grafico della funzione di velocità con il tempo chiarisce il motivo per cui questi integrali devono essere impostati per le regole vettoriali da rispettare e le definizioni da soddisfare.

grafico {-x ^ 2 + 3x-2 -34.76, 38.3, -21.53, 14.98}