Due angoli di un triangolo isoscele sono a (1, 3) e (9, 4). Se l'area del triangolo è 64, quali sono le lunghezze dei lati del triangolo?

Risposta:

Le lunghezze dei lati del triangolo sono:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Spiegazione:

La distanza tra due punti # (x_1, y_1) # e # (x_2, y_2) # è dato dalla formula della distanza:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Quindi la distanza tra # (x_1, y_1) = (1, 3) # e # (x_2, y_2) = (9, 4) # è:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

che è un numero irrazionale un po 'più grande di #8#.

Se uno degli altri lati del triangolo era della stessa lunghezza, allora l'area massima possibile del triangolo sarebbe:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Quindi non può essere il caso. Invece, gli altri due lati devono avere la stessa lunghezza.

Dato un triangolo con i lati # a = sqrt (65), b = t, c = t #, possiamo usare la formula di Heron per trovare la sua area.

La formula degli aironi ci dice che l'area di un triangolo con i lati #a, b, c # e semi perimetro # s = 1/2 (a + b + c) # è dato da:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Nel nostro caso il semi-perimetro è:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

e la formula di Heron ci dice che:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (bianco) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Moltiplica entrambe le estremità di #2# ottenere:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Piazza entrambi i lati per ottenere:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Moltiplicare entrambi i lati per #4/65# ottenere:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Trasponi e aggiungi #65/4# ad entrambi i lati per ottenere:

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Prendi la radice quadrata positiva di entrambi i lati per ottenere:

#t = sqrt (266369/260) #

Quindi le lunghezze dei lati del triangolo sono:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Metodo alternativo

Invece di usare la formula di Heron, possiamo ragionare come segue:

Dato che la base del triangolo isoscele è di lunghezza:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

L'area è # 64 = 1/2 "base" xx "altezza" #

Quindi l'altezza del triangolo è:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Questa è la lunghezza della bisettrice perpendicolare del triangolo, che passa attraverso il punto medio della base.

Quindi gli altri due lati formano gli ipotenici di due triangoli ad angolo retto con le gambe #sqrt (65) / 2 # e # (128sqrt (65)) / 65 #

Quindi, per Pitagora, ognuno di questi lati è lungo:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #