Mostra che 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) ... all'infinito = 3 ^ (3/4) .how?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

# 3 ^ (1/3) xx9 ^ (1/9) xx27 ^ (1/27) cdots = 3 ^ (1/3) xx 3 ^ (2/9) xx 3 ^ (3/27) cdots = 3 ^ (1/3 + 2/9 + 3/27 + cdots + n / 3 ^ n + cdots) = 3 ^ S #

con

#S = sum_ (k = 1) ^ oo n / 3 ^ n =? #

Lo sappiamo #sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x d / (dx) sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k #

e anche quello per #abs x <1 #

#sum_ (k = 1) ^ oo x ^ k = 1 / (1-x) -1 # e # d / (dx) (1 / (1-x) -1) = 1 / (1-x) ^ 2 # poi

#sum_ (k = 1) ^ oo k x ^ k = x / (1-x) ^ 2 # e per #x = 1/3 # noi abbiamo

#S = 3/4 # allora finalmente

# 3 ^ S = 3 ^ (3/4) #

Il rapporto comune di una progressione ggeometrica è r il primo termine della progressione è (r ^ 2-3r + 2) e la somma di infinito è S Mostra che S = 2-r (I have) Trova l'insieme di possibili valori che S può prendere?

S = a / {1-r} = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2)} / {1-r} = 2-r Dato che | r | <1 otteniamo 1 <S <3 # Abbiamo S = sum_ {k = 0} ^ {infty} (r ^ 2-3r + 2) r ^ k La somma generale di una serie geometrica infinita è sum_ {k = 0} ^ {infty} ar ^ k = a / {1-r} Nel nostro caso, S = {r ^ 2-3r + 2} / {1-r} = {(r-1) (r-2 )} / {1-r} = 2-r Le serie geometriche convergono solo quando | r | <1, quindi otteniamo 1 <S <3 #

Il decimale 0,297297. . ., in cui la sequenza 297 si ripete all'infinito, è razionale. Mostra che è razionale scrivendolo nella forma p / q dove p e q sono interger. Posso avere aiuto?

Colore (magenta) (x = 297/999 = 11/37 "Equazione 1: -" "Sia" x "essere" = 0.297 "Equazione 2: -" "Così", 1000x = 297.297 "Sottraiendo l'Eq. 2 dall'Eq. 1, otteniamo: "1000x-x = 297.297-0.297 999x = 297 colori (magenta) (x = 297/999 = 11/37 0.bar 297" può essere scritto come numero razionale nella forma "p / q" dove "q ne 0" è "11/37" ~ Spero che questo aiuti! :) "

Due barche escono dal porto contemporaneamente con una barca che viaggia verso nord a 15 nodi all'ora e l'altra che viaggia verso ovest a 12 nodi all'ora. Quanto è veloce la distanza tra le barche che cambiano dopo 2 ore?

La distanza sta cambiando a sqrt (1476) / 2 nodi all'ora. Lasciate che la distanza tra le due barche sia d e il numero di ore che hanno viaggiato h. Con il teorema di Pitagora, abbiamo: (15h) ^ 2 + (12h) ^ 2 = d ^ 2 225h ^ 2 + 144h ^ 2 = d ^ 2 369h ^ 2 = d ^ 2 Ora lo differenziamo rispetto al tempo. 738h = 2d ((dd) / dt) Il prossimo passo è scoprire quanto distano le due barche dopo due ore. In due ore, la barca in direzione nord avrà fatto 30 nodi e la barca in direzione ovest avrà fatto 24 nodi. Ciò significa che la distanza tra i due è d ^ 2 = 24 ^ 2 + 30 ^ 2 d = sqrt (1476) Ora sappiamo che