Qual è il dominio e l'intervallo di f (x) = (x + 9) / (x-3)?

Risposta:

Dominio: # Mathbb {R} setminus {3} #

Gamma: # Mathbb {R} #

Spiegazione:

Dominio

Il dominio di una funzione è l'insieme di punti in cui è definita la funzione. Con la funzione numerica, come probabilmente saprai, alcune operazioni non sono consentite, ovvero la divisione per #0#, logaritmi di numeri non positivi e anche radici di numeri negativi.

Nel tuo caso, non hai né logaritmi né radici, quindi devi solo preoccuparti del denominatore. Quando imponente #x - 3 ne 0 #, troverai la soluzione #x ne 3 #. Quindi, il dominio è l'insieme di tutti i numeri reali, tranne #3#, che puoi scrivere come # Mathbb {R} setminus {3} # o nella forma dell'intervallo # (- infty, 3) cup (3, infty) #

Gamma

L'intervallo è un intervallo i cui estremi sono i valori più bassi e più alti possibili raggiunti dalla funzione. In questo caso, notiamo già che la nostra funzione ha un punto di non definizione, che porta a un asintoto verticale. Quando si avvicinano asintoti verticali, le funzioni divergono verso # # -Infty o # # Infty. Studiamo cosa succede in giro # X = 3 #: se consideriamo il limite di sinistra che abbiamo

#lim_ {x a 3 ^ frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ = - infty #

In effetti, se #X# approcci #3#, ma è ancora meno di #3#, # x-3 # sarà leggermente inferiore a zero (si pensi, ad esempio, a #X# assumendo valori come #2.9, 2.99, 2.999,…#

Con la stessa logica, #lim_ {x a 3 ^ +} frac {x + 9} {x-3} = frac {12} {0 ^ +} = infty #

Poiché la funzione si avvicina a entrambi # # -Infty e # # Inftyl'intervallo è # (- infty, infty) #, che ovviamente equivale all'intero numero reale impostato # Mathbb {R} #.

Risposta:

#x in (-oo, 3) uu (3, oo) #

#y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

Spiegazione:

Il denominatore di f) x) non può essere zero in quanto ciò renderebbe f (x) indefinito. Equating the denominator to zero e solving dà il valore che x non può essere.

# "solve" x-3 = 0rArrx = 3larrcolor (rosso) "valore escluso" #

# "dominio" x in (-oo, 3) uu (3, oo) #

# "let" y = (x + 9) / (x-3) #

# "riorganizza rendendo x l'oggetto" #

#y (x-3) = x + 9 #

# Xy-3y = x + 9 #

# Xy x = 9 + 3y #

nx (y-1) = 9 + 3y #

# X = (9 + 3y) / (y-1) #

# "solve" y-1 = 0rArry = 1larrcolor (rosso) "valore escluso" #

# "range" y in (-oo, 1) uu (1, oo) #

graph {(x + 9) / (x-3) -10, 10, -5, 5}