Come si dimostra arcsin x + arccos x = pi / 2?

Risposta:

come mostrato

Spiegazione:

Permettere

# Arcsinx = theta #

poi

# X = sintheta = cos (pi / 2-theta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Risposta:

L'affermazione è vera quando le funzioni trigonometriche inverse si riferiscono ai valori principali, ma ciò richiede più attenzione da mostrare rispetto a quella fornita dall'altra risposta.

Quando le funzioni trigonometriche inverse sono considerate multivalore, ad esempio otteniamo un risultato più sfumato

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # ma #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Dobbiamo sottrarre per ottenere # Pi / 2 #.

Spiegazione:

Questo è più complicato di quanto sembri. L'altra risposta non gli paga il dovuto rispetto.

Una convenzione generale è usare la lettera minuscola #arccos (x) # e #arcsin (x) # come espressioni multivalore, ciascuna indica rispettivamente tutti i valori il cui coseno o seno ha un valore determinato #X#.

Il significato della somma di questi è davvero ogni combinazione possibile, e quelli non darebbero sempre # Pi / 2. # Non daranno neanche mai uno degli angoli di coterminale # pi / 2 + 2pi k quad # numero intero #K#, come mostreremo ora.

Vediamo come funziona prima con le funzioni trigonometriche inverse multivalore. Ricorda in generale # cos x = cos a # ha soluzioni # x = pm a + 2pi k quad # numero intero #K#.

# c = arccos x # significa davvero

#x = cos c #

#s = arcsin x # significa davvero

#x = sin s #

#y = s + c #

#X# sta giocando il ruolo di un parametro reale che spazia da #-1# a #1#. Vogliamo risolvere per # Y #, trova tutti i valori possibili di # Y # che hanno un #x, s # e # C # questo rende queste equazioni simultanee #x = cos c, x = sin s, y = s + c # vero.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Usiamo la nostra soluzione generale sopra l'uguaglianza dei coseni.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # numero intero #K#

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Quindi otteniamo il risultato molto più nebuloso, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(È possibile capovolgere il segno #K.#)

Concentriamoci ora sui valori principali, che scrivo con lettere maiuscole:

Mostrare #text {Arco} testo {sin} (x) + testo {Arco} testo {cos} (x) = pi / 2 #

L'affermazione è vera per i valori principali definiti nel solito modo.

La somma è definita solo (fino a quando non entriamo abbastanza in profondità in numeri complessi) per # -1 le x le 1 # perché i seni e i coseni validi si trovano in quell'intervallo.

Daremo un'occhiata a ciascun lato dell'equivalente

# testo {Arco} testo {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - testo {Arco} testo {sin} (x) #

Prenderemo il coseno di entrambe le parti.

#cos (testo {Arco} testo {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - testo {Arc} text {sin} (x)) = sin (testo {Arco} testo {sin} (x)) = x #

Quindi senza preoccuparci dei segni o dei valori principali siamo sicuri

#cos (testo {arco} testo {cos} (x)) = cos (pi / 2 - testo {arco} testo {sin} (x)) #

La parte difficile, la parte che merita rispetto, è il prossimo passo:

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad # NON SONO ANCORA SICURO

Dobbiamo calcare attentamente. Prendiamo il positivo e il negativo #X# separatamente.

Primo # 0 le x le 1 #. Ciò significa che i valori principali di entrambe le funzioni trigonometriche inverse si trovano nel primo quadrante, tra #0# e # Pi / 2. # Vincolato al primo quadrante, gli uguali coseni implicano angoli uguali, quindi concludiamo per #x ge 0, #

#text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Adesso # -1 le x <0. # Il valore principale del segno inverso è nel quarto quadrante e per #x <0 # di solito definiamo il valore principale nell'intervallo

# - pi / 2 le text {Arc} text {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - text {Arc} text {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - testo {arco} testo {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - testo {Arco} testo {sin} (x) le pi #

Il valore principale per il coseno inverso negativo è il secondo quadrante, # pi / 2 <testo {Arco} testo {cos} (x) le pi #

Quindi abbiamo due angoli nel secondo quadrante i cui coseni sono uguali, e possiamo concludere che gli angoli sono uguali. Per #x <0 #, #text {Arc} text {cos} (x) = pi / 2 - text {Arc} text {sin} (x) quad #

Quindi in entrambi i casi, # testo {Arco} testo {sin} (x) + testo {Arco} testo {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #